Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn \((C): x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+3=0\) . Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn ( C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(\Delta: 3 x+4 y+1=0\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\((C): x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+3=0 \Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=2\)
Do đó đường tròn có tâm I (1; 2) và bán kính \(R=\sqrt{2}\).
Do d song song với đường thẳng \(\Delta\) nên d có phương trình là \(3 x+4 y+k=0,(k \neq 1)\).
Ta có \(d(I ; d)=R \Leftrightarrow \frac{|11+k|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\sqrt{2} \Leftrightarrow|11+k|=5 \sqrt{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} 11+k=5 \sqrt{2} \\ 11+k=-5 \sqrt{2} \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} k=5 \sqrt{2}-11 \\ k=-5 \sqrt{2}-11 \end{array}\right.\right.\).
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3 x+4 y+5 \sqrt{2}-11=0,3 x+4 y-5 \sqrt{2}-11=0\)
