Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1),B(−1;−1;0) và C(3;1;−1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) và cách đều các điểm A,B,C.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiM thuộc mặt phẳng (Oxy), giả sử M(m;n;0)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {MA = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} }\\ {MB = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}} }\\ {MC = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} } \end{array}\)
Vì M cách đều ba điểm A,B,C nên ta có MA=MB=MC
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} MA = MB\\ MA = MC \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} M{A^2} = M{B^2}\\ M{A^2} = M{C^2} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} {(m - 1)^2} + {(n - 1)^2} + 1 = {(m + 1)^2} + {(n + 1)^2}\\ {(m - 1)^2} + {(n - 1)^2} + 1 = {(m - 3)^2} + {(n - 1)^2} + 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4m + 4n = 1\\ 4m = 8 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 2\\ n = \frac{{ - 7}}{4} \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy \(M\left( {2; - \frac{7}{4};0} \right)\)
.
