Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 36\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;1;3} \right)\), vuông góc với đường thẳng d và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thằng \(\Delta \) có một véctơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;a;b} \right)\). Tính a + b.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình \(\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{-4}\). Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ?

Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{O}}xyz\), cho điểm \(B\left( {2; – 1;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – 3y + 3z – 4 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm B và vuông góc \(mp\left( P \right)\) có phương trình là

Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2};{d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\). Góc giữa hai đường thẳng đó bằng

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với \(A\left( {1\,;1\,;1} \right),B\left( { – 1\,;1\,;0} \right),C\left( {1\,;3\,;2} \right)\). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ nào dưới đây làm một vectơ chỉ phương?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( { – 3\,;\,3\,;\, – 3} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x – 2y + z + 15 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 100\). Đường thẳng \(\Delta\) qua M, nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( S \right)\) tại \(A,\;B\) sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \).

Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB với \(A\left( {4, - 3,5} \right);B\left( {2,1,3} \right)\).

Tính tích có hướng của cặp vectơ sau: \(\overrightarrow{a}=\left( 3;1;-1 \right);\overrightarrow{b}=\left( 2;1;-2 \right).\)

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( { – 3\,;2\,  ;2} \right),B\left( {0\,; – 1\,;2} \right),C\left( {1\,;1\,;3} \right)\), một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) đi qua C và song song với AB có tọa độ là

Cho tam giác ABC biết \(A\,(1;0;0);\,\,B\,(0;0;1)\,\,\text{v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,C\,(2;1;1).\) Tính diện tích tam giác ABC.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2;3; – 1} \right), B\left( {1;2;4} \right)\). Phương trình đường thẳng nào dưới đây không phải là phương trình đường thẳng AB?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu \((S):(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=9\) và đường
thẳng \(d: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{3}\)Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (4;3;4) song song với đường thẳng \(\Delta\) và tiếp xúc với mặt cầu (S)là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: ^x2 + y² + z²- 2x - 2y - 4z + 5 = 0

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}, {d_2}\) và mặt phẳng (\(\alpha\)) có phương trình: \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + t}\\{z = – 1 + 2t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right), {d_2}:\frac{{x – 2}}{{ – 3}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – 4}}{{ – 2}}, (\alpha ):x + y – z – 2 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng (\(\alpha \)), cắt cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là

Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(A B=a, A D=2 a, S A=3 a\) . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD và P là giao điểm của SC với mặt phẳng \((A M N)\) . Tính thể tích khối chóp S AMPN?

Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(A\left( {2;4; – 1} \right), B\left( {5;0;7} \right)\). Viết phương trình tham số của tia AB.

Cho tứ diện ABCD có \(A\left( {3,6, - 2} \right);B\left( {6,0,1} \right);C\left( { - 1,2,0} \right);D\left( {0,4,1} \right)\).Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ :

Cho tam giác ABC biết \(A\,(1;0;0);\,\,B\,(0;0;1)\,\,\text{v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,C\,(2;1;1).\) Tính độ dài đường cao \({{h}_{A}}\) kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+4 y-2 z+5=0\) và đường
thẳng : \(d: \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+1}{-5}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d và đi qua tâm của mặt cầu (S).
 

Trong không gian Oxyz , đường thẳng \(\Delta\text{đi qua }A(1 ; 2 ;-1)\) và song song với đường thẳng \(d: \frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{2}\) có phương trình là:
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm A(1 ;-2 ; 3) và có  tâm \( I(2 ; 2 ; 3)\) có dạng là.