Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):7x + y – 4z = 0\), cắt hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{1}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\) có phương trình chính tắc là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {7\,;1\,;4} \right)\)
\({d_1}\) có phương trình tham số: \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2m\\y = 1 – 2m\\z = – 2 + m\end{array} \right.\)
Giả sử \(\Delta \) cắt \({d_1}\) tại \(A \Rightarrow A\left( {2m\,;1 – 2m\,; – 2 + m} \right)\)
Giả sử \(\Delta \) cắt \({d_2}\) tại \(B \Rightarrow B\left( { – 1 + 2t\,;1 + t\,;3} \right)\)
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {2t – 1 – 2m\,;t + m\,;5 – m} \right)\)
Vì đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow n \)
Tức là \(\frac{{2t – 1 – 2m}}{7} = \frac{{t + m}}{1} = \frac{{5 – m}}{{ – 4}} = k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t – 1 – 2m = 7k\\t + m = k\\5 – m = – 4k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = – 2\\m = 1\\k = – 1\end{array} \right.\).
Suy ra \(A\left( {2\,;0\,; – 1} \right),B\left( { – 5\,; – 1\,;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { – 7\,; – 1\,;4} \right).\)
Vậy đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2\,;0\,; – 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( { – 7\,; – 1\,;4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là \(\Delta :\frac{{x – 2}}{{ – 7}} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{4}.\)
