Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1) ; B(1;1;0) ; C(1;0;1) và mặt phẳng \((P): x+y-z-1=0\) . Điểm M thuộc (P) sao cho \(M A=M B=M C\). Thể tích khối chóp M. ABC là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Gọi điểm } M(x ; y ; z) \text { . }\)
\(\text { Vi điểm } M \text { thuộc }(P) \text { sao cho } M A=M B=M C \text { nên }\)
\(\left\{\begin{array} { l } { M \in ( P ) } \\ { M A = M B } \\ { M A = M C } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x+y-z-1=0 \\ x^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2} \\ x^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x + y - z - 1 = 0 } \\ { x - z = 0 } \\ { x - y = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=1 \Rightarrow M(1 ; 1 ; 1) \\ z=1 \end{array}\right.\right.\)
Ta có
\(\begin{aligned} &\overrightarrow{M A}=(1 ; 0 ; 0) ; \overrightarrow{M B}=(0 ; 0 ; 1) \Rightarrow[\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}]=(0 ;-1 ; 0) ; \overrightarrow{M C}=(0 ; 1 ; 0) \Rightarrow[\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}] \overrightarrow{M C}=-1\\ &V_{M . A B C}=\frac{1}{6}\left[[\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}] \cdot \overrightarrow{M C} \mid=\frac{1}{6} .\right. \end{aligned}\)
