Tính tích môđun của tất cả các số phức z thỏa mãn \(|2 z-1|=|\bar{z}+1+i|\) , đồng thời điểm biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn tâm I (1;1) , bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Đặt } z=x+y i(x ; y \in \mathbb{R}) \text { và } M(x ; y) \text { là điểm biểu diễn của số phức } z \text { . }\)
\(|2 z-1|=|\bar{z}+1+i| \longrightarrow|2 x-1+2 y \cdot i|=|x+1-(y-1) \cdot i|\)
\(\Leftrightarrow(2 x-1)^{2}+4 y^{2}=(x+1)^{2}+(y-1)^{2} \Leftrightarrow 3 x^{2}+3 y^{2}-6 x+2 y-1=0 .(1)\)
\(\text { Lại có } M \in(C):(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=5 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2 x-2 y-3=0 \text { . }(2)\)
\(\text { Từ }(1) \text { và }(2), \text { ta có hệ }\left\{\begin{array} { l } { 3 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } - 6 x + 2 y - 1 = 0 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 2 y - 3 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { x = 0 } \\ { y = - 1 } \end{array} \text { hoặc } \left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=-1 \end{array}\right.\right.\right. \text { . }\)
Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện của bài toán là \(z_{1}=-i \text { và } z_{2}=2-i\)
Khi đó \(\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|=|-i| \cdot|2-i|=\sqrt{5}\)
