Tính giới hạn \(D=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x \sin 3 x}-\cos 2 x}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\mathrm{D}=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\sqrt{1+x \sin 3 x}-\cos 2 x}{x^{2}}}\)
\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x\sin 3x} - \cos 2x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x\sin 3x} - 1}}{{{x^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 2x}}{{{x^2}}}}\\ \begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{x\sin 3x}}{{{x^2}\left( {\sqrt {1 + x\sin 3x} + 1} \right)}}} \right) + 2\\ = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin 3x}}{{3x}} \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 + x\sin 3x} + 1}}} \right) + 2\\ = \frac{7}{2} \end{array} \end{array}\\ \Rightarrow D = \frac{1}{{\frac{7}{2}}} = \frac{2}{7} \end{array}\)
