Tín giới hạn \(A=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-2 \sqrt{x^{2}-x}+x\right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} \sqrt {{x^2} + x + 1} - 2\sqrt {{x^2} - x} + x = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x} \right)}^2} - 4\left( {{x^2} - x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2\sqrt {{x^2} - x} + x}}\\ = \frac{{2x\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1 + 5x - 2{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2\sqrt {{x^2} - x} + x}} = \frac{{2x\left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2\sqrt {{x^2} - x} + x}} + \frac{{1 + 5x}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2\sqrt {{x^2} - x} + x}}\\ = \frac{{2x(x + 1)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2\sqrt {{x^2} - x} + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x} \right)}} + \frac{{1 + 5x}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2\sqrt {{x^2} - x} + x}} \end{array}\)
Do đó
\(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{2}{x}}}{{\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 2\sqrt {1 - \frac{1}{x}} + 1} \right)\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x} + 5}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 2\sqrt {1 - \frac{1}{x}} + 1}} = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{3}{2}\)
