Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}\) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}
y' = 3{x^2} - 6mx\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2m
\end{array} \right.
\end{array}\)
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là
\(A\left( {0;4{m^3}} \right),B\left( {2m;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2m; - 4{m^3}} \right)\)
Trung điểm của đoạn AB là I(m;2m3)
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng
(d):y = x và I ∈ (d)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m - 4{m^3} = 0\\
2{m^3} = m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.\)
Kết hợp với điều kiện ta có \(m = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số \(y = {x^4} – {x^2} + 1\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
.png)
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x + 1} \right)\left( { - x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\). Điểm cực tiểu của hàm số là
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} + 5x + 6} \right){\left( {x - 1} \right)^2}\). Điểm cực tiểu của hàm số là
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = - 2{{\rm{x}}^4} + 5{{\rm{x}}^2}\) là
-
Hàm số \(y = – {x^4} – 3{x^2} + 1\) có:
-
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + m\) chỉ có đúng một cực trị
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số \(y=|f(x)|\)
-
Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số đạo hàm f '(x) của f (x) có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số.
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền [-10;10] để hàm số y = x⁴ -2(2m +1) x² +7 có ba điểm cực trị?
-
Hàm số \(y=x^{4}+2(m-2) x^{2}+m^{2}-2 m+3\) có đúng 1 điểm cực trị thì giá trị của m là:
-
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y=m x^{4}-(m+1) x^{2}+2 m-1\) có 3 điểm cực trị ?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), đồ thị của đạo hàm \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ sau:
.jpg.png)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
Hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y = {x^4} – 4{x^2} + 2\). Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
-
Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 1\) là:
-
Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
-
Số điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{x}}^4} - 11{{\rm{x}}^2} + 9\) là
-
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x + 11\) đạt cực tiểu tại x = 3
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số \(y=-x^{3}+3 m x+1 \text { có }\) điểm cực trị , B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( với O là gốc tọa độ).
