Tìm tâm đối xứng của đường cong (C) có phương trình \(y=x^{3}-3 x^{2}+3\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiLấy điểm \(M(x ; y) \in(C) \Rightarrow y=x^{3}-3 x^{2}+2(*)\)
Gọi I (a;b) là tâm đối xứng của (C) và \(M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)\) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I .
Ta có \(\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=2 a-x \\ y^{\prime}=2 b-y \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=2 a-x^{\prime} \\ y=2 b-y^{\prime} \end{array}\right.\right.\)
Thay vào (*) ta được \(2 b-y^{\prime}=\left(2 a-x^{\prime}\right)^{3}-3\left(2 a-x^{\prime}\right)^{2}+3\)
Mặt khác \(M^{\prime} \in(C) \text { nên } y^{\prime}=x^{\prime 3}-3 x^{\prime 2}+3 \text { do đó }(*)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow(6-6 a) x^{\prime 2}+\left(12 a^{2}-12 a\right) x^{\prime}-8 a^{3}+12 a^{2}+2 b-6=0, \forall x^{\prime} \\ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 6-6 a=0 \\ 12 a^{2}-12 a=0 \\ -8 a^{3}+12 a^{2}+2 b-6=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=1 \end{array}\right.\right. \end{array}\)
Vậy I(1;1) là tâm đối xứng của (C).
