Tìm số nghiệm trên khoảng \((-\pi ; \pi)\) của phương trình :\(2(\sin x+1)\left(\sin ^{2} 2 x-3 \sin x+1\right)=\sin 4 x \cdot \cos x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đã cho tương đương với
\(\begin{array}{l} 2(\sin x+1)\left(\frac{1-\cos 4 x}{2}-3 \sin x+1\right)=\sin 4 x \cos x \\ \Leftrightarrow(\sin x+1)(3-6 \sin x-\cos 4 x)=\sin 4 x \cdot \cos x \\ \Leftrightarrow(\sin x+1)(3-6 \sin x)-\sin x \cdot \cos 4 x-\cos 4 x=\sin 4 x \cdot \cos x \\ \Leftrightarrow 3\left(1-2 \sin ^{2} x\right)-3 \sin x=\sin 5 x+\cos 4 x \\ \Leftrightarrow 3 \cos 2 x+3 \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(5 x-\frac{\pi}{2}\right)+\cos 4 x \\ \Leftrightarrow 3.2 \cdot \cos \left(\frac{3 x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=2 \cdot \cos \left(\frac{9 x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \\ \Leftrightarrow \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\left[3 \cos \left(\frac{3 x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(\frac{9 x}{2}+\frac{3 \pi}{4}\right)\right]=0 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos ^{3}\left(\frac{3 x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} \cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \\ \cos \left(\frac{3 x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} x=\frac{3 \pi}{2}+k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \end{array}\right.\right.\)
Vì \(x \in(-\pi ; \pi) \text { nên suy ra } x=-\frac{\pi}{2}, x=\frac{\pi}{6}, x=\frac{3 \pi}{2}\)
