Một hình trụ có thể tích V không đổi. Tính mối quan hệ giữa bán kính đáy và chiều cao hình trụ sao cho diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi R và \(h\) là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.
Ta có: \(V=\pi {{R}^{2}}h\) (không đổi)
\({{S}_{tp}}={{S}_{xq}}=2{{S}_{\text{day}}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=\left( Rh+{{R}^{2}} \right)2\pi \)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương,
Ta có: \(\frac{Rh}{2}+\frac{Rh}{2}+{{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{Rh}{2}.\frac{Rh}{2}.{{R}^{2}}}\)
\(\Leftrightarrow Rh+{{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{{{R}^{4}}{{h}^{2}}}{4}}=3\sqrt[3]{\frac{{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}4}}\)
\(\Leftrightarrow {{S}_{tp}}\ge 3\left( 2\pi \right)\sqrt[3]{\frac{{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}4}}\)(hằng số)
Do đó: S toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \frac{Rh}{2}={{R}^{2}}\Leftrightarrow R=\frac{h}{2}.\)
