Một hình trụ có thể tích V không đổi. Tính mối quan hệ giữa bán kính đáy và chiều cao hình trụ sao cho diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi R và \(h\) là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.
Ta có: \(V=\pi {{R}^{2}}h\) (không đổi)
\({{S}_{tp}}={{S}_{xq}}=2{{S}_{\text{day}}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=\left( Rh+{{R}^{2}} \right)2\pi \)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương,
Ta có: \(\frac{Rh}{2}+\frac{Rh}{2}+{{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{Rh}{2}.\frac{Rh}{2}.{{R}^{2}}}\)
\(\Leftrightarrow Rh+{{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{{{R}^{4}}{{h}^{2}}}{4}}=3\sqrt[3]{\frac{{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}4}}\)
\(\Leftrightarrow {{S}_{tp}}\ge 3\left( 2\pi \right)\sqrt[3]{\frac{{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}4}}\)(hằng số)
Do đó: S toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \frac{Rh}{2}={{R}^{2}}\Leftrightarrow R=\frac{h}{2}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy là tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết SB = a và góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy bằng 60o. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
-
Số mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác là
-
Khối đa diện đều nào sau có số đỉnh nhiều nhất
-
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
-
Khối lăng trụ ngũ giác có tất cả bao nhiêu cạnh?
-
Trong hình bát diện đều số cạnh gấp mấy lần số đỉnh.
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Khối đa diện có các mặt là những tam giác thì:
-
Trong các hình sau đây, hình nào là hình đa diện?
-
Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD). Hình chóp này có mặt đối xứng nào?
-
Trong các mệnh đề sau, hãy chọn mệnh đề đúng. Trong một khối đa diện thì:
-
Hai hình đa diện bằng nhau khi và chỉ khi:
-
Số đỉnh, số cạnh và số mặt của một khối tám mặt đều lần lượt là:
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Hình đa diện đều có tất cả các mặt là ngũ giác có bao nhiêu cạnh?
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối tứ diện.
-
Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm trên hai đường tròn đáy sao cho \(AB=2R.\) Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R.
-
.png)
-
Cho điểm A thuộc (P ). Lấy đối xứng A qua (P) được ảnh là điểm A'. Chọn kết luận đúng:
