Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCách giải tự luận:
\(\begin{array}{l} f(x) = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ \to \smallint f\left( x \right)dx = \smallint \left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx = x + \frac{1}{{x + 1}} + C \end{array}\)
Ta có:
\( \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} - 2\) nên B đúng
\( \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\) nên C đúng
\( \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} - 1\) nên D đúng
\( \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}} = x - \frac{1}{{x + 1}}\) nên A sai
