Điều kiện cần và đủ của tham số \(m\) để phương trình \(\log _{2}^{2}x-(m-1){{\log }_{2}}x+4-m=0\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ 1;4 \right]\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t={{\log }_{2}}x\). Vì \(x\in \left[ 1;4 \right]\) nên \(t\in \left[ 0;2 \right].\)
Phương trình trở thành \({{t}^{2}}-\left( m-1 \right)t+4-m=0\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+t+4}{t+1}.\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+t+4}{t+1}\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right].\)
Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 3 \end{array} \right..\)
Bảng biến thiên
.png)
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ 1;4 \right]\) thì \(3<m\le \frac{10}{3}.\)
