Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y )thỏa mãn \(1 \leq x \leq 2020 \text { và } x+x^{2}-9^{y}=3^{y} .\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } x+x^{2}-9^{y}=3^{y} \Leftrightarrow x+x^{2}=3^{y}+\left(3^{y}\right)^{2} \text { (1). Xét hàm } f(t)=t+t^{2},(t>0) \text { . }\\ &\text { Ta có: } f^{\prime}(t)=1+2 t>0, \forall t>0 \Rightarrow f(t) \text { là hàm đồng biến trên }(0 ;+\infty) \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Theo giả thiết, } 1 \leq x \leq 2020 \Leftrightarrow 1 \leq 3^{y} \leq 2020 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq \log _{3} 2020 \text { . }\\ &\text { Vì } y \text { nguyên nên } y \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\} \Rightarrow x \in\{1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 ; 729\} \text { . }\\ &\text { Vậy có } 7 \text { cặp }(x ; y) \text { thỏa mãn. } \end{aligned}\)
