Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn \(0 \leq x \leq 2020 \text { và } 3\left(9^{y}+2 y\right)=x+\log _{3}(x+1)^{3}-2 ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } 3\left(9^{y}+2 y\right)=x+\log _{3}(x+1)^{3}-2 \\ &\Leftrightarrow 3.9^{y}+6 y=x+3 \log _{3}(x+1)-2 \Leftrightarrow 3^{2 y+1}+3(2 y+1)=(x+1)+3 \log _{3}(x+1)\left({ }^{*}\right) . \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Xét hàm số } f(t)=3^{t}+3 t \text { . Ta có: } f^{\prime}(t)=3^{t} \cdot \ln 3+3>0, \forall t \text { . }\\ &\text { Suy ra hàm số } f(t) \text { liên tục và đồng biến trên } \mathbb{R} \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Do đó }(*) \Leftrightarrow f(2 y+1)=f\left(\log _{3}(x+1)\right) \Leftrightarrow 2 y+1=\log _{3}(x+1) \Leftrightarrow x=3^{2 y+1}-1 \text { . } \\ &\text { Vì } 0 \leq x \leq 2020 \text { nên } 0 \leq 3^{2 y+1}-1 \leq 2020 \Leftrightarrow-\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{\log _{3} 2021-1}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Do } y \text { nguyên nên } y \in\{0 ; 1 ; 2\} \text { . }\\ &\Rightarrow(x ; y) \in\{(2 ; 0) ;(26 ; 1) ;(242 ; 2)\} \text { do đó có } 3 \text { cặp số nguyên }(x ; y) \text { thỏa mãn. } \end{aligned}\)
