Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn \(0 \leq x \leq 2020 \text { và } 3\left(9^{y}+2 y\right)=x+\log _{3}(x+1)^{3}-2 ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } 3\left(9^{y}+2 y\right)=x+\log _{3}(x+1)^{3}-2 \\ &\Leftrightarrow 3.9^{y}+6 y=x+3 \log _{3}(x+1)-2 \Leftrightarrow 3^{2 y+1}+3(2 y+1)=(x+1)+3 \log _{3}(x+1)\left({ }^{*}\right) . \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Xét hàm số } f(t)=3^{t}+3 t \text { . Ta có: } f^{\prime}(t)=3^{t} \cdot \ln 3+3>0, \forall t \text { . }\\ &\text { Suy ra hàm số } f(t) \text { liên tục và đồng biến trên } \mathbb{R} \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Do đó }(*) \Leftrightarrow f(2 y+1)=f\left(\log _{3}(x+1)\right) \Leftrightarrow 2 y+1=\log _{3}(x+1) \Leftrightarrow x=3^{2 y+1}-1 \text { . } \\ &\text { Vì } 0 \leq x \leq 2020 \text { nên } 0 \leq 3^{2 y+1}-1 \leq 2020 \Leftrightarrow-\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{\log _{3} 2021-1}{2} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Do } y \text { nguyên nên } y \in\{0 ; 1 ; 2\} \text { . }\\ &\Rightarrow(x ; y) \in\{(2 ; 0) ;(26 ; 1) ;(242 ; 2)\} \text { do đó có } 3 \text { cặp số nguyên }(x ; y) \text { thỏa mãn. } \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tập xác định Dcủa hàm số \(y=\log _{3} \frac{10-x}{x^{2}-3 x+2}\) là?
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y=\log _{\sqrt{2}} \sqrt{x+1}-\log _{\frac{1}{2}}(3-x)-\log _{3}(x-1)^{3}\)
-
Trong năm 2019 , diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 800ha . Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Kể từ sau năm 2019 , năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1400ha ?
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left(x^{2}+2 x\right) e^{-x} ?\)
-
Áp suất không khí P (đo bằng milimet thuỷ ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng mét), tức P giảm theo công thức \(P={{P}_{0}}{{e}^{xi}}\) trong đó \({{P}_{0}}=760mmHg\) là áp suất ở mực nước biển \(\left( x=0 \right)\), i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m gần với số nào sau đây nhất?
-
Cho x, y là các số thực thỏa mãn \(\log _{2}(2 x+2)+x-3 y=8^{y}(*)\) . Biết \(0 \leq x \leq 2018\), số cặp x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức (*) là
-
Cho \(f(x)=2020^{x}-2020^{-x}\) . Gọi \(m_{0}\) là số lớn nhất trong số nguyên m thỏa \(f(m+1)+f\left(\frac{m}{2020}-2020\right)<0\) . Giá trị của m0 là
-
Đạo hàm của hàm số \(y=\log _{3}\left(x^{2}+x+1\right)\) là:
-
Xét các số thực a b , thỏa mãn a>1>b>0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{a^{2}} a^{2} b+\log _{\sqrt{b}} a^{3}\)
-
Tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left( {{2^x} - {3^x}} \right)\)
-
\(\text { Cho } f(x)=\frac{9^{x}}{9^{x}+3} . \text { Nếu } a+b=1 \text { thì } f(a)+f(b) \text { là }\)
-
Cho \(4^x+4^{-x}=7\) . Khi đó biểu thức \(P=\frac{5-2^{x}-2^{-x}}{8+4.2^{x}+4.2^{-x}}=\frac{a}{b}\)với \(a\over b\)là phân số tối giản và \(a,b\in\mathbb{Z}\) . Tích a.b có giá trị bằng
-
Tìm x để hàm số \(y=\log \sqrt{x^{2}+2x-15}\) có nghĩa.
-
Trong năm 2019 , diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 900 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Kể từ sau năm 2019, năm nào dưới đây là năm đầu tiên của tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1700 ha?
-
Cho hàm số \(y=e^{-x} \cdot \sin x\) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Tính đạo hàm của hàm số \(\displaystyle y = {\log _3}({3^{x - 1}} - 9)\).
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn \(x, y \in[3 ; 48] \text { và }(x-2) \sqrt{y+2}=\sqrt{y+1} \sqrt{x^{2}-4 x+5}\)
-
\(\text { Hàm số } y=\left(x^{2}-16\right)^{-5}-\ln \left(24-5 x-x^{2}\right) \text { có tập xác định là }\)
-
Tính đạo hàm của hàm số \(\begin{aligned} &y=\log _{2019}|x| \end{aligned}\) với \(x\ne 0\)
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
