ADMICRO
Cho số thực thỏa mãn \(2^{x^{2}}-2^{y}=y-x^{2}\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=x-2 y\)
Chính xác
Xem lời giải
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
ZUNIA12
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } 2^{x^{2}}-2^{y}=y-x^{2} \Leftrightarrow 2^{x^{2}}+x^{2}=2^{y}+y \Leftrightarrow f\left(x^{2}\right)=f(y) \text { , với } f(t)=2^{t}+t \text { . }\\ &\text { Xét hàm số } f(t)=2^{t}+t \Rightarrow f^{\prime}(t)=2^{t} \cdot \ln 2+1>0, \forall t \in \mathbb{R} \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Do đó } f\left(x^{2}\right)=f(y) \Leftrightarrow x^{2}=y . P=x-2 y=x-2 x^{2} \leq \frac{1}{8} \text { . }\\ &\text { Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức } P=\frac{1}{8} \text { đạt được khi } x=\frac{1}{4}, y=\frac{1}{16} \text { . } \end{aligned}\)
ZUNIA9
AANETWORK