Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn khẳng định đúng?

A. \(A B^{2}+A C^{2}+A D^{2}+B C^{2}+B D^{2}+C D^{2}=3\left(G A^{2}+G B^{2}+G C^{2}+G D^{2}\right)\)

B. \(A B^{2}+A C^{2}+A D^{2}+B C^{2}+B D^{2}+C D^{2}=4\left(G A^{2}+G B^{2}+G C^{2}+G D^{2}\right)\)

C. \(A B^{2}+A C^{2}+A D^{2}+B C^{2}+B D^{2}+C D^{2}=6\left(G A^{2}+G B^{2}+G C^{2}+G D^{2}\right)\)

D. \(A B^{2}+A C^{2}+A D^{2}+B C^{2}+B D^{2}+C D^{2}=2\left(G A^{2}+G B^{2}+G C^{2}+G D^{2}\right)\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 11

Chủ đề: Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài: Hai đường thẳng vuông góc

Lời giải:

Báo sai

Ta có

\(\begin{array}{l} A B^{2}+A C^{2}+A D^{2}+B C^{2}+B D^{2}+C D^{2} \\ =(\overrightarrow{A G}+\overrightarrow{G B})^{2}+(\overrightarrow{A G}+\overrightarrow{G C})^{2}+(\overrightarrow{A G}+\overrightarrow{G D})^{2}+(\overrightarrow{B G}+\overrightarrow{G C})^{2}+(\overrightarrow{B G}+\overrightarrow{G D})^{2}+(\overrightarrow{C G}+\overrightarrow{G D})^{2} \\ =3 A G^{2}+3 B G^{2}+3 C G^{2}+3 D G^{2}+2(\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G B}+\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G C}+\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G D}+\overrightarrow{B G} \cdot \overrightarrow{G D}+\overrightarrow{B G} \cdot \overrightarrow{G D}+\overrightarrow{C G} \cdot \overrightarrow{G D})(1) \end{array}\)

Lại có

\(\begin{array}{l} (\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D})=\overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow G A^{2}+G B^{2}+G C^{2}+G D^{2} \\ =2(\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G B}+\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G C}+\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G D}+\overrightarrow{B G} \cdot \overrightarrow{G D}+\overrightarrow{B G} \cdot \overrightarrow{G D}+\overrightarrow{C G} \cdot \overrightarrow{G D})(2) \end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có

\(\begin{array}{l} A B^{2}+A C^{2}+A D^{2}+B C^{2}+B D^{2}+C D^{2}=3 A G^{2}+3 B G^{2}+3 C G^{2}+3 D G^{2}+2(\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G B}+\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G C}+\overrightarrow{A G} \cdot \overrightarrow{G D}+\overrightarrow{B G} \cdot \overrightarrow{G D}+\overrightarrow{B G} \cdot \overrightarrow{G D}+\overrightarrow{C G} \cdot \overrightarrow{G D} \\ \Leftrightarrow A B^{2}+A C^{2}+A D^{2}+B C^{2}+B D^{2}+C D^{2}=3\left(A G^{2}+B G^{2}+C G^{2}+D G^{2}\right)+\left(A G^{2}+B G^{2}+C G^{2}+D G^{2}\right) \\ \Leftrightarrow A B^{2}+A C^{2}+A D^{2}+B C^{2}+B D^{2}+C D^{2}=4\left(A G^{2}+B G^{2}+C G^{2}+D G^{2}\right) \end{array}\)