Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} EN{\rm{ // }}AC\\ NF{\rm{ // }}BD \end{array} \right. \Rightarrow \left( {AC,BD} \right) = \left( {NE,NF} \right) = 90^\circ \Rightarrow NE \bot NF\) (1).
Mà: \(\left\{ \begin{array}{l} NE = FM = \frac{1}{2}AC\\ NF = ME = \frac{1}{2}BD \end{array} \right.\) (2).
Từ (1), (2) \( \Rightarrow MENF\) là hình chữ nhật.
Từ đó ta có:
\(MN = \sqrt {N{E^2} + N{F^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{BD}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)
