Cho tam giác ABC, có ba cạnh a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức \(P=\cot \frac{A}{2} \cdot \cot \frac{C}{2}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiNếu ba cạnh a, b, c lập thành cấp số cộng thì ta có: a+c=2 b.
\(\begin{aligned}
&\Leftrightarrow \sin A+\sin C=2 \sin B \Leftrightarrow 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{\mathrm{A}-\mathrm{C}}{2}=4 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{\mathrm{B}}{2}(1) \\
&\text { Vì: } A+C=180^{\circ}-B \Rightarrow \frac{A+C}{2}=90^{0}-\frac{B}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
\sin \frac{A+C}{2}=\sin \left(90^{\circ}-\frac{B}{2}\right)=\cos \frac{\mathrm{B}}{2} \\
\cos \frac{A+C}{2}=\cos \left(90^{\circ}-\frac{B}{2}\right)=\sin \frac{B}{2}
\end{array}\right.
\end{aligned}\)
Do đó (1) trở thành:
\(\begin{aligned}
&\Leftrightarrow \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{\mathrm{A}-\mathrm{C}}{2}=2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{\mathrm{A}+\mathrm{C}}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{\mathrm{A}-\mathrm{C}}{2}=2 \sin \frac{B}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{\mathrm{A}-\mathrm{C}}{2}=2 \cos \frac{\mathrm{A}+\mathrm{C}}{2} \\
&\Leftrightarrow \cos \frac{\mathrm{A}}{2} \cos \frac{\mathrm{C}}{2}+\sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}=2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{\mathrm{C}}{2}-2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{\mathrm{A}}{2} \cos \frac{\mathrm{C}}{2}=3 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}
\end{aligned}\)
\(\Rightarrow \cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2}=3\)
