Cho số nguyên dương n thỏa mãn \( C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + \cdots + C_{2n}^{2n - 1} = 512\). Tính tổng \( S = {2^2}C_n^2 - {3^2}C_n^3 + \cdots + {( - 1)^n}{n^2}C_n^n\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\( {\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1.x + C_{2n}^2.{x^2} + C_{2n}^3.{x^3} + \cdots + C_{2n}^{2n - 1}.{x^{2n - 1}} + C_{2n}^{2n}.{x^{2n}}(1)\)
Thay x=1 vào (1) ta có:
\( {2^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + C_{2n}^3 + \cdots + C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n}(2)\)
Thay x=−1 vào (1) ta có:
\( 0 = C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - C_{2n}^3 + \cdots - C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n}(3)\)
Trừ từng vế của (2) và (3) ta có:
\( {2^{2n}} = 2.\left( {C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + \cdots + C_{2n}^{2n - 1}} \right) \Leftrightarrow C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + \cdots + C_{2n}^{2n - 1} = {2^{2n - 1}}\)
Nên
\( C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + \cdots + C_{2n}^{2n - 1} = 512 \Leftrightarrow {2^{2n - 1}} = {2^9} \Leftrightarrow 2n - 1 = 9 \Leftrightarrow n = 5\)
Hay \( S = {2^2}C_5^2 - {3^2}C_5^3 + {4^2}C_5^4 - {5^2}.C_5^5 = 5\)
