Cho nhị thức \(\left(2 x^{2}+\frac{1}{x^{3}}\right)^{n}\) , trong đó số nguyên dương n thỏa mãn \(A_{n}^{3}=72 n\) . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } A_{n}^{3}=72 n \Leftrightarrow \frac{n !}{(n-3) !}=72 n \Leftrightarrow n(n-1)(n-2)=72 n \Leftrightarrow n=10 \text { . }\\ &\text { Xét khai triển: }\\ &\left(2 x^{2}+\frac{1}{x^{3}}\right)^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k}\left(2 x^{2}\right)^{10-k}\left(\frac{1}{x^{3}}\right)^{k}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k} \cdot 2^{10-k} x^{20-2 k} \cdot x^{-3 k}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k} \cdot 2^{10-k} x^{20-5 k} . \end{aligned}\)
Số hạng chứa x5 trong khai triển tương đương với: \(20-5 k=5 \Leftrightarrow k=3\) .
Suy ra số hạng chứa 5 x trong khai triển là: \(2^{7} C_{10}^{3} x^{5}\)
