Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có SB = SD = 2a
Vì \(\Delta SCD = \Delta SCB{\rm{ (c}}{\rm{.c}}{\rm{.c)}}\) nên chân đường cao hạ từ B và D đến SC của hai tam giác đó trùng nhau và độ dài đường cao bằng nhau ⇒ BH = DH
Do đó \(\widehat {\left( {(SBC),(SCD)} \right)} = \widehat {DHB} = \varphi \)
Ta có
\(\begin{array}{l} OB = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow BH = DH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}a \end{array}\)
Lại có BH = DH và O là trung điểm BD nên \(HO \bot BD\) hay \(\Delta HOB\) vuông tại O
\(OH = \sqrt {B{H^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}a\)
Ta có \(\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{{OH}}{{BH}} = \frac{{\frac{{\sqrt {30} }}{{10}}}}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4};\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{{OB}}{{BH}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{A_1}{D_1}CB} \right)\) và (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60o, cosin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) bằng :
-
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời \(a \bot b\). Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC'. Thiết diện là hình gì?
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \text { có } A B=a\,và\,A A^{\prime}=\sqrt{2} a\). Góc giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.
-
Cho tứ diện ABCD có \(AB \bot \left( {BCD} \right)\). Trong \(\Delta BCD\) vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O. Trong (ADC) vẽ \(DK \bot AC\) tại K. Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Biết \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = a\sqrt 3 \) và đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a. Gọi \(\alpha\) là góc hợp bởi mặt bên (SCD) với đáy. Khi đó \(\tan \alpha = ?\)
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Cho các mệnh đề sau với \((\alpha)\) và \((\beta)\) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau với giao tuyến \(m = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\) và a, b, c, d là các đường thẳng. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng ∝
Tan của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
-
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) , a là một đường thẳng nằm trên (P). Mệnh đề nào sau đây sai?
-
Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) . Góc giữa \(A^{\prime} C^{\prime} \text { và } D^{\prime} C^{\prime}\) là
-
Cho tứ diện đều ABCD . Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng \(\alpha\) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD.
Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì.
