Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc \(\widehat {ABC} = {60^0}\). Các cạnh SA, SB, SC đều bằng \(a\frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(\varphi \) là góc của hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD). Giá trị \(\tan \varphi \) bằng bao nhiêu?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Do AB = BC và \(\widehat {ABC} = {60^0}\) nên tam giác ABC đều.
Gọi H là hình chiếu của A lên (ABCD).
Do SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có :
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\ SO \bot AC,HO \bot AC \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SO,HO} \right) = \widehat {SOH} \end{array}\)
Mặt khác
\(HO = \frac{1}{3}BO = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
\(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{{2\sqrt 3 }}\)
\(\tan \varphi =\tan \frac {SH}{OH}=3 \sqrt5\)
