Cho hình chóp S.ABC có đáy là \(\Delta ABC\) vuông cân ở B, \(AC=a\sqrt{2},SA=a\) và \(SA\bot \left( ABC \right)\). Gọi G là trọng tâm của \(\Delta SBC\), một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua AG và song song vsơi BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Thể tích khối chóp S.AMN bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Tam giác ABC vuông tại \(B\Rightarrow AC=AB\sqrt{2}\Leftrightarrow AB=BC=a\)
Gọi I là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác SBC
Nên \(\frac{SG}{SI}=\frac{2}{3}\) mà MN song song với BC suy ra \(\frac{SM}{SC}=\frac{SN}{SB}=\frac{SG}{SI}=\frac{2}{3}\)
Do đó \(\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ACB}}}=\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SB}=\frac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\frac{4}{9}{{V}_{S.ACB}}\)
Mặt khác \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}}{6}\)
Suy ra \({{V}_{S.AMN}}=\frac{4}{9}{{V}_{S.ACB}}=\frac{4}{9}.\frac{{{a}^{3}}}{6}=\frac{2{{a}^{3}}}{27}\).
