Cho hình chóp  có đáy là tam giác đều cạnh  cạnh bên  vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng  $\frac{{{a^3}}}{4}$  Tính cạnh bên

Trong hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(0;1;1), B(1;0;1), C( 0;0;1), và I (1;1;1) . Mặt phẳng qua I, song song với mặt phẳng (ABC) có phương trình là: 

Trong không gian tọa độ Oxyz, xác định phương trình mặt cầu có tâm I(3;-1;2) và tiếp xúc mặt phẳng (P): x+2y-2z = 0.

Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có $\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OC} ,\,\,\overrightarrow {OG}$ trùng với ba trục $\overrightarrow {Ox} ,{\rm{ }}\overrightarrow {Oy} ,{\rm{ }}\overrightarrow {Oz}$. Viết phương trình mặt cầu (S₁) ngoại tiếp hình lập phương.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + (2m - 4)z + m² - m = 0, trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì (P) song song với trục Oz?

Trong không gian với hệ trụcOxyz , tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng $(P): x+y+z=0$

Cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x - 5y + 2z - 4 = 0,\left( Q \right):2x + y - z + 9 = 0$. Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q). $\cos \varphi$ là số nào?

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu(S): (x-1)² + (y-2)² + (z-3)² = 81 tại điểm P(-5;-4;6) là:

Cho điểm A(-1;3;2) và mặt phẳng (P):x + 2y - z + 5 = 0. Tính tọa độ điểm B đối xứng với A qua (P):

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , mặt phẳng (P) chứa hai điểm A(1; 0; 1) , B (-1; 2; 2) và song song với trục Ox  có phương trình là 

Trong không gian với hệ trục , cho đường thẳng : $d: x-1=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{3}$ và mặt phẳng $(P): x+4 y+9 z-0=0$ . Giao điểm I của d và (P) là?

Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho đường thẳng $d: \frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $(P): x+2 y-2 z+3=0$. Tìm tọa độ điểm M có tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2 .

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là x + my + (m + 3)z + 1 = 0; x - y + 2z = 0, trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q)?

Cho mặt phẳng (P) qua hai điểm $A\left( {3,0,4} \right);\,B\left( { - 3,0,4} \right)$ và hợp với mặt phẳng (xOy) một góc 30^o và cắt y’Oy tại C. Tính khoảng cách từ O đến (P):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) tâm I (-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+2y-2z+5=0?

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1) ; B(1;1;0) ; C(1;0;1) và mặt phẳng $(P): x+y-z-1=0$ . Điểm M thuộc (P) sao cho $M A=M B=M C$. Thể tích khối chóp M. ABC là 

Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho tứ diện ABCD với $A(2 ; 0 ; 0), B(0 ;-1 ; 0), C(0 ; 0 ; 2),D(-2;-4;-1)$. Độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện là.

Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua  các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm $A(1 ; 0 ; 0), B(0 ;-2 ; 0)$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (OAB)?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1) và B(0;2;2) đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại 2 điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho OM =ON

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính thể tích tứ diện OABC, biết A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng 2x-3y+4z+24 = 0 với trục Ox, Oy, Oz.