Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp 2 trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
.jpg.png)
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( {\frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { – \frac{{5\pi }}{6}\,;\,\frac{\pi }{6}} \right]\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = \frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2} = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Vì \(x \in \left[ { – \frac{{5\pi }}{6}\,;\,\frac{\pi }{6}} \right] \Rightarrow x + \frac{\pi }{3} \in \left[ { – \frac{\pi }{2}\,;\,\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { – 1\,;\,1} \right]\)
Dựa vào đồ thị của hàm số \(f’\left( x \right)\), ta có bảng biến thiên
.png)
Ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \frac{{5\pi }}{6}\,;\,\frac{\pi }{6}} \right]} f\left( {\frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2}} \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1\,;\,1} \right]} f\left( t \right) \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{3}\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \frac{{5\pi }}{6}\,;\,\frac{\pi }{6}} \right]} f\left( {\frac{{\sin x + \sqrt 3 \cos x}}{2}} \right) = f\left( { – \frac{\pi }{3}} \right)\)
