Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\tan x}} + \frac{1}{{\cot x}}\). Xét hai phép lập luận:
(I) \(f\left( x \right) = \cot x + \tan x \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{ - 4\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}}\)
(II) \(f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{2}{{\sin 2x}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 4\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}}\)
Phép lập luận nào đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = {\left( {\cot x + \tan x} \right)^\prime }\\ = {\left( {\cot x} \right)^\prime } + {\left( {\tan x} \right)^\prime }\\ = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\\ = \frac{{ - 4\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\ = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{\sin x\cos x}}\\ = \frac{1}{{\frac{1}{2}\sin 2x}}\\ = \frac{2}{{\sin 2x}} \end{array}\)
\(f'\left( x \right) = - \frac{{2{{\left( {\sin 2x} \right)}^\prime }}}{{{{\sin }^2}2x}}\\ = - \frac{{2{{\left( {2x} \right)}^\prime }\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}} \\= - \frac{{4\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}}\)
