Cho hàm số \(\begin{equation} f(x)=\left\{\begin{array}{lll} a x^{2}+b x & \text { khi } & x \geq 1 \\ 2 x-1 & \text { khi } & x<1 \end{array}\right. \end{equation}\). Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x=1 thì \(\begin{equation} 2 a+b \end{equation}\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{equation} \begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{2 x-1-1}{x-1}=2\\ &\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{a x^{2}+b x-a-b}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{a\left(x^{2}-1\right)+b(x-1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{(x-1)[a(x+1)+b]}{x-1}\\ &=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}[a(x+1)+b]=2 a+b\\ &\text { Theo yêu cầu bài toán: } \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \Leftrightarrow 2 a+b=2 \text { . } \end{aligned} \end{equation}\)
