Cho hàm số f(x). Biết hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Trên đoạn \({\rm{[}} – 4;3]\), hàm số \(g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm.
.jpg.png)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
Ta có \(g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2} \Rightarrow g'(x) = 2f'(x) – 2(1 – x) = 2[f'(x) – (1 – x){\rm{]}}\)
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 1 – x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 4\\x = – 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
.png)
Từ bảng biến thiên, suy ra g(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \({\rm{[}} – 4;3]\) tại \({x_0} = – 1\)
Ta có: \(g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2} \Rightarrow g'(x) = 2f'(x) – 2(1 – x) = 2[f'(x) – (1 – x){\rm{]}}\)
Vì trong đoạn \({\rm{[}} – 4; – 1]\) đồ thị hàm số y = f'(x) nằm phía dưới đồ thị hàm số y = 1 – x
\( \Rightarrow f'(x) < 1 – x\forall x \in {\rm{[}} – 4; – 1] \Rightarrow g'(x) < 0\forall x \in [ – 4; – 1] \Rightarrow g(x)\) nghịch biến trên \({\rm{( – 4; – 1)}}\)
\(\Rightarrow g( – 4) > g( – 3) > g( – 1)\) (*)
Vì trong đoạn \({\rm{[ – 1;3}}]\) đồ thị hàm số y = f'(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y = 1 – x
\( \Rightarrow f'(x) > 1 – x\forall x \in {\rm{[ – 1}};3] \Rightarrow g'(x) > 0\forall x \in [ – 1;3] \Rightarrow g(x)\) đồng biến trên \({\rm{( – 1;3)}}\)
\( \Rightarrow g(3) > g( – 1)\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra g(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \({\rm{[}} – 4;3]\) tại \({x_0} = – 1\)
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số \(y=(x-1)^{2}+(x+3)^{2}\) có giá trị nhỏ nhất bằng
-
Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^{2}-\ln (1-2 x)\) trên đoạn [-2; 0] . Khi đó M + m bằng
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{3x - 11}}{{x + 2}}\text{ trên đoạn } \left[ {1;5} \right]\)
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm y = f'(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị của hàm số y = f'(x) trên đoạn \(\left[ { – 2;6} \right]\) như hình vẽ bên.Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm y = f'(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị của hàm số y = f'(x) trên đoạn \(\left[ { – 2;6} \right]\) như hình vẽ bên.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
-
Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{e^{2x}} - 4{e^x} + m} \right|\) trên [ 0; ln4] bằng 6
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=e^{x}\left(x^{2}-x-1\right)\) trên đoạn [0;2] là
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x^{4}-2 x^{2}+1\) trên đoạn [0;2] là
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{1}{\sin x}\)trên khoảng (0;π ) là:
-
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\frac{4}{x+1}\)trên đoạn [0; 4]
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2}\; + mx\; + 1}}{{x + m}}\) liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên [0;2] tại một điểm 0 < x0 < 2.
-
\(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - 1 - 5x}}{x} \text{ trên đoạn } \left[ {1;3} \right]\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{\ln x}{x}\) trên đoạn [1;e] bằng là:
-
Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được.
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(\sin x) = m có đúng hai nghiệm thuộc đoạn \([0;\pi ]?\)
.jpg.png)
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{3x - 11}}{{x + 2}}\text{ trên đoạn } \left[ { - 5; - 3} \right]\)
-
Cho hàm số \(f(x)=\sin ^{3} x-3 \sin x+2 .\) Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.
Khi đó là \(M+2 m\) là? -
Cho hàm số \(y=|3 \cos x-4 \sin x+8|\) với \(x \in[0 ; 2 \pi]\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Khi đó tổng M + m bằng bao nhiêu?
-
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x-\ln x\) trên \(\left[\frac{1}{2} ; e\right]\)
-
Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y=\sin ^{4} x+\cos ^{2} x+2\) là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2\sqrt x + m}}{{\sqrt {x + 1} }}\) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m > 1 để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [ 0; 4] nhỏ hơn 3.
