Cho hàm số f(x). Biết hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Trên đoạn \({\rm{[}} – 4;3]\), hàm số \(g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm.
.jpg.png)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
Ta có \(g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2} \Rightarrow g'(x) = 2f'(x) – 2(1 – x) = 2[f'(x) – (1 – x){\rm{]}}\)
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 1 – x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 4\\x = – 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
.png)
Từ bảng biến thiên, suy ra g(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \({\rm{[}} – 4;3]\) tại \({x_0} = – 1\)
Ta có: \(g(x) = 2f(x) + {(1 – x)^2} \Rightarrow g'(x) = 2f'(x) – 2(1 – x) = 2[f'(x) – (1 – x){\rm{]}}\)
Vì trong đoạn \({\rm{[}} – 4; – 1]\) đồ thị hàm số y = f'(x) nằm phía dưới đồ thị hàm số y = 1 – x
\( \Rightarrow f'(x) < 1 – x\forall x \in {\rm{[}} – 4; – 1] \Rightarrow g'(x) < 0\forall x \in [ – 4; – 1] \Rightarrow g(x)\) nghịch biến trên \({\rm{( – 4; – 1)}}\)
\(\Rightarrow g( – 4) > g( – 3) > g( – 1)\) (*)
Vì trong đoạn \({\rm{[ – 1;3}}]\) đồ thị hàm số y = f'(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y = 1 – x
\( \Rightarrow f'(x) > 1 – x\forall x \in {\rm{[ – 1}};3] \Rightarrow g'(x) > 0\forall x \in [ – 1;3] \Rightarrow g(x)\) đồng biến trên \({\rm{( – 1;3)}}\)
\( \Rightarrow g(3) > g( – 1)\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra g(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \({\rm{[}} – 4;3]\) tại \({x_0} = – 1\)
Câu hỏi liên quan
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 2{x^2} – 4x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right].\)
-
Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=(2 \sin x+1)^{2}+2\) trên đoạn \(\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\)
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x^{3}-8 x^{2}+16 x-9\) trên đoạn [1;3] là:
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{1}{{\sin x + \cos x}}\) trên khoảng \( \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
-
Hàm số \(y=\left(x^{2}+2 x+3\right)\left(x^{2}+2 x-2\right)\) có giá trị lớn nhất là:
-
Hàm số \(y=\frac{x^{2}-3 x}{x+1}\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0;3] là:
-
Hàm số \(y=(x-1)^{2}+(x+3)^{2}\) có giá trị nhỏ nhất bằng:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 8}},\) với m là tham số. Giá trị lớn nhất của m để \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = – 2\) là
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=(2 \sin x+1)^{2}+2 \text { trên đoạn }\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\)
-
Hàm số \(y=\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}+2}}\) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-3;0] lần lượt tại \(x_{1} ; x_{2}\) Khi đó \(x_{1} . x_{2}\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}\) . Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Số nguyên nhỏ nhất của tham số để PT \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 4 = \left( {m - 1} \right)\sqrt {{x^3} + 4x} \) có nghiệm là
-
Trong 1 cuộc thi pha chế, mỗi đội được dùng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha nước cam và nước táo. Pha 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam được 60 điểm, mỗi lít nước táo được 80 điểm. Cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt điểm cao nhấ
-
Cho hàm số y =f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x³ - x² - 8x\) trên đoạn [1;3]
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{-x^{2}+4 x}\) là:
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{ - x - 9}}{{x + 3}}\text{ trên đoạn } \left[ {0;4} \right]\)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\frac{9}{x}\)trên đoạn [2;4] là:
-
Cho hàm số \(y=5 \sqrt{3-x}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
