Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn \(x^{2}-4 y^{2}=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{2}(x+2 y) \cdot \log _{2}(2 x-4 y)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saitừ giả thiết ta có: \((x-2 y)(x+2 y)=1 \text { suy ra } x-2 y=\frac{1}{x+2 y}\)
Vậy \(P=\log _{2}(x+2 y) \cdot \log _{2} \frac{2}{x+2 y}=\log _{2}(x+2 y)\left[1-\log _{2}(x+2 y)\right]\)
\(=-\left[\log _{2}(x+2 y)-\frac{1}{2}\right]^{2}+\frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x-2 y=\frac{1}{x+2 y} \\ \log _{2}(x+2 y)=\frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x+2 y=\sqrt{2} \\ x-2 y=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=\frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ y=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \end{array}\right.\right.\right.\)