Cho hai số thực a , b thay đổi thỏa mãn \(\frac{1}{3}<b<a<1\) . Biết biểu thức \(P=\log _{a}\left(\frac{3 b-1}{4 a^{3}}\right)+12 \log _{\frac{b}{a}}^{2} a\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng M khi \(a=b^{m}\) . Tính \(T=M+m\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \((2 b-1)^{2}(b+1) \geq 0 \Rightarrow 3 b-1 \leq 4 b^{3} \Rightarrow \frac{3 b-1}{4 a^{3}} \leq \frac{b^{3}}{a^{3}}\)
Đặt \(x=\log _{a} b(x>1) \text { với mọi } 0<b<a /<1\)
\(\begin{array}{l} P \geq \log _{a} \frac{b^{3}}{a^{3}}+12\left(\frac{1}{\log _{a} \frac{b}{a}}\right)^{2}=3 \log _{a} b-3+\frac{12}{\left(\log _{a} b-1\right)^{2}}=3 x-3+\frac{12}{(x-1)^{2}} \\ =\frac{3}{2}(x-1)+\frac{3}{2}(x-1)+\frac{12}{(x-1)^{2}} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{3}{2}(x-1) \cdot \frac{3}{2}(x-1) \cdot \frac{12}{(x-1)^{2}}}=9 \end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{3}{2}(x-1)=\frac{12}{(x-1)^{2}} \Leftrightarrow x=3 \Leftrightarrow \log _{a} b=3 \Leftrightarrow b=a^{3} \Leftrightarrow a=b^{\frac{1}{3}}\)
Khi đó \(M=9, m=\frac{1}{3}, \text { Vậy } T=\frac{28}{3}\)
