Xét hai số thực a b , thay đổi thỏa mãn b>a>1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\log _{a}^{3}\left(\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)+\log _{\sqrt[3]{b^{2}}}\left(\frac{b}{a}\right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(P=\left(2 \log _{a}\left(\frac{a}{b}\right)\right)^{3}+\frac{3}{2} \log _{b}\left(\frac{b}{a}\right)=8\left(1-\log _{a} b\right)^{3}+\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{\log _{a} b}\right)\)
Đặt \(\log _{a} b=x,(x>1), \text { ta có } P=f(x)=8(1-x)^{3}+\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{x}\right) \text { và } f^{\prime}(x)=\frac{3}{2 x^{2}}-24(1-x)^{2}\)
\(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{2}}{2} \in(1 ;+\infty)\)
Lập bảng biến thiên, ta có \(P_{\max }=\max _{(1 ;+\infty)} f(x)=f\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{23-16 \sqrt{2}}{2}\)
