Cho đường thẳng $\left( \Delta  \right):\,\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$ và và mặt cầu (S): x² + y² + z² − 2x + 4z + 1 = 0. Số điểm chung của (Δ) và (S) là :

Trong không gian Oxyz , xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M (2;3;1) lên mặt phẳng $(\alpha): x-2 y+z=0$

Cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x + 2y + 5z + 6 = 0,\left( \beta \right):4x + 3y - 2z - 3 = 0$.

Trong 4 điểm sau đây: ${M_1}\left( {14,18,2} \right),{M_2}\left( {14, - 18, - 2} \right),{M_3}\left( { - 5,8, - 1} \right),{M_4}\left( { - 5, - 8,1} \right)$, điểm nào nằm trên giao tuyến của $(\alpha)$ và $(\beta)$ :

Tính bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 6z - 2 = 0$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm trên Ox điểm A sao cho A cách đều đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{2}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-2z=0$.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(2;1;3) và mặt phẳng $(P): x-2 y+2 z-4$Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là:

Xác định vị tí tương đối của ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{1},{{d}_{2}}:\frac{x}{-2}=\frac{y+8}{3}=\frac{z-4}{1}$.

Vị trí tương đối của đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{7} = \frac{z}{6}$ và mặt phẳng (P): x + y + z - 10 = 0 là:

Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y - 3z = 0, (R): 2x - y - z = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng $(P):x-2y-z+2=0$ và $(Q):2x-y+z+1=0$. Góc giữa hai mặt phẳng là?

Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng $d: \frac{x+3}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$song song với đường thẳng $d^{\prime}: \frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{2}$ là:

Trong không gian Oxyz , cho điểm $M(5 ; 7 ;-13)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oyz) . Tọa độ điểm H là? 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

$d:\left\{ \begin{array}{l} x =  - 1 + 3t\\ y =  - t\\ z = 1 - 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right);d':\frac{{x - 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}$

Vị trí tương đối của d và d' là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm $A(0,-1,2)$ và mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $4 x+y-2 z-3=0$ . Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng $(\alpha) .$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {2;\; – 3;\; – 2} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {2; – 5;1} \right)$ có phương trình là

Cho tứ giác ABCD có $A\left( {0,1, - 1} \right);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} \right);\,\,C\left( {1, - 1,0} \right);\,\,\,\left( {0,0,1} \right)$. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (R) chứa AC và vuông góc với mặt phẳng (ABD).

Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6 cm, chiều dài 25cm (hình bên). Sau khi lăn trọn 6 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng một diện tích là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 8y - 12z + 7 = 0$ . Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại điểm P(-4;1;4) có phương trình là

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x₀, y₀, z₀) và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}}$ = (A; B; C) là:

Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng $4x + 3y - 12z + 1 = 0$ và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình $\left\{\begin{array}{l} x=1-3 t \\ y=2+t ; t \in \mathbb{R} \\ z=3+2 t \end{array}\right.$ . Mặt phẳng (P) đi
qua A( -1; -2;1)và (P) vuông góc với đường thẳng (d) thì (P) có phương trình là: