\(\text { Cho dãy số }\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right) \text { với } \mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\frac{4 \mathrm{n}+1}{2^{\mathrm{n}}} . \text { Dãy }\left(\mathrm{s}_{\mathrm{n}}\right) \text { được cho bởi } \mathrm{s}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{u}_{\mathrm{i}} . \text { Tìm } \lim \mathrm{s}_{\mathrm{n}} \text { . }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta chứng minh được: } \mathrm{u}_{\mathrm{n}} \geq 3 ; \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}, \text { do đó }\)
\(u_{n+1}-u_{n}=\frac{\left(u_{n}+2\right)^{2}\left(u_{n}-2\right)}{5}>0\)
Từ đó thấy \(\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)\) tăng. Giả sử \(\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)\)bị chặn, khi đó tồn tại giới gạn hữu hạn, giả sử \(\lim _{\mathrm{u}_{\mathrm{n}}}=\mathrm{a}\)và ta có:
\(\begin{array}{l} a=\frac{a(a+1)^{2}-8}{5} \Leftrightarrow a^{3}+2 a^{2}-4 a-8=0 \Leftrightarrow a=\pm 2 \text { (loại) } \\ \text { Do đó } \lim u_{n}=+\infty \end{array}\)
\(\text { Ta lại thấy rằng: } \mathrm{u}_{\mathrm{n}+1}=\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}+1\right)^{2}-8}{5} \Rightarrow \frac{\mathrm{u}_{\mathrm{n}}-2}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}}^{2}+1}=\frac{1}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}}+2}-\frac{1}{\mathrm{u}_{\mathrm{n}+1}+2}, \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}\)
\(\text { Vì vậy nên: } \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{u_{i}-2}{u_{i}^{2}+1}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{u_{1}+2}-\frac{1}{u_{n+1}+2}\right)=\frac{1}{5} \text { . }\)
