\(\begin{equation} \text { Nguyên hàm } F(x) \text { của hàm số } f(x)=\sin ^{2} 2 x \cdot \cos ^{3} 2 x \text { thỏa } F\left(\frac{\pi}{4}\right)=0 \text { là } \end{equation}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{equation} \begin{array}{l} \text { Đặt } t=\sin 2 x \Rightarrow \mathrm{d} t=2 \cos 2 x \mathrm{~d} x \Rightarrow \frac{1}{2} \mathrm{~d} t=\cos 2 x \mathrm{~d} x \text { . }\\ \text { Ta có } F(x)=\int \sin ^{2} 2 x \cdot \cos ^{3} 2 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \cdot \int t^{2} \cdot\left(1-t^{2}\right) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \cdot \int\left(t^{2}-t^{4}\right) \mathrm{d} t\\ =\frac{1}{6} t^{3}-\frac{1}{10} t^{5}+C=\frac{1}{6} \sin ^{3} 2 x-\frac{1}{10} \sin ^{5} 2 x+C .\\ \text { Mà từ giả thiết ta được } F\left(\frac{\pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow \frac{1}{6} \sin ^{3} \frac{\pi}{2}-\frac{1}{10} \sin ^{5} \frac{\pi}{2}+C=0 \Leftrightarrow C=-\frac{1}{15} \text { . }\\ \text { Vây } F(x)=\frac{1}{6} \sin ^{3} 2 x-\frac{1}{10} \sin ^{5} 2 x-\frac{1}{15} \text { . } \end{array} \end{equation}\)
