\(\begin{aligned} &\text { Trong không gian với hệ trục tọa độ } O x y z \text {, cho hình hộp } A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D \text { ' biết } A(1 ; 0 ; 1) \text {, }\\ &B(2 ; 1 ; 2), D(1 ;-1 ; 1), C^{\prime}(4 ; 5 ;-5) \text {. Xác định tọa độ đỉnh A' của hình hộp } A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \text {. } \end{aligned} \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Gọi } C(x ; y ; z) \text {. Ta có } \overrightarrow{A B}=(1 ; 1 ; 1) ; \overrightarrow{D C}=(x-1 ; y+1 ; z-1) \text {. }\\ &\text { Tứ giác } A B C D \text { là hình bình hành } \Leftrightarrow \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C} \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x - 1 = 1 } \\ { y + 1 = 1 } \\ { z - 1 = 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=0 \\ z=2 \end{array} \Rightarrow C(2 ; 0 ; 2)\right.\right. \text {. }\\ &\text { Gọi } D^{\prime}(x ; y ; z) \text {. Ta có } \overline{D^{\prime} C^{\prime}}=(4-x ; 5-y ;-5-z) ; \overrightarrow{D C}=(1 ; 1 ; 1) \text {. }\\ &\text { Tứ giác } D C C^{\prime} D^{\prime} \text { là hình bình hành } \Leftrightarrow \overrightarrow{D^{\prime} C^{\prime}}=\overrightarrow{D C} \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { 4 - x = 1 } \\ { 5 - y = 1 } \\ { - 5 - z = 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=3 \\ y=4 \\ z=-6 \end{array} \Rightarrow D^{\prime}(3 ; 4 ;-6)\right.\right. \text {. }\\ &\text { Gọi } A^{\prime}(x ; y ; z) \text {. Ta có } \overrightarrow{A^{\prime} D^{\prime}}=(3-x ; 4-y ;-6-z) ; \overrightarrow{A D}=(0 ;-1 ; 0) \text {. }\\ &\text { Tứ giác } A D D^{\prime} A^{\prime} \text { là hình bình hành } \Leftrightarrow \overrightarrow{A^{\prime} D^{\prime}}=\overrightarrow{A D} \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { 3 - x = 0 } \\ { 4 - y = - 1 } \\ { - 6 - z = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=3 \\ y=5 \\ z=-6 \end{array} \Rightarrow A^{\prime}(3 ; 5 ;-6)\right.\right. \text {. } \end{aligned}\)
