Xét các số thực a, b thỏa mãn a > b >1. Tìm giá trị nhỏ nhất \(P_{\min }\) của biểu thức \(P=\log _{\frac{a}{b}}^{2}\left(a^{2}\right)+3 \log _{b}\left(\frac{a}{b}\right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới điều kiện đề bài, ta có
\(\begin{aligned} P &=\log _{\frac{a}{b}}^{2}\left(a^{2}\right)+3 \log _{b}\left(\frac{a}{b}\right)=\left[2 \log _{\frac{a}{b}} a\right]^{2}+3 \log _{b}\left(\frac{a}{b}\right)=4\left[\log _{\frac{a}{b}}\left(\frac{a}{b}, b\right)\right]^{2}+3 \log _{b}\left(\frac{a}{b}\right) \\ &=4\left[1+\log _{\frac{a}{b}} b\right]^{2}+3 \log _{b}\left(\frac{a}{b}\right) \end{aligned}\)
Đặt \(t=\log _{\frac{a}{b}} b>0 \text { (vì } \left.a>b>1\right)\), ta có \(P=4(1+t)^{2}+\frac{3}{t}=4 t^{2}+8 t+\frac{3}{t}+4=f(t)\) .
Ta có \(f^{\prime}(t)=8 t+8-\frac{3}{t^{2}}=\frac{8 t^{3}+8 t^{2}-3}{t^{2}}=\frac{(2 t-1)\left(4 t^{2}+6 t+3\right)}{t^{2}}\)
Vậy \(f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\). Khảo sát hàm số, ta có \(P_{\min }=f\left(\frac{1}{2}\right)=15\)
