Xét ẩn hàm y=y(x) cho bởi phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l} x = t{e^t}\\ y = ({t^2} + t) \end{array} \right.{e^t};t \in (0, + \infty )\) Các đạo hàm cấp 1, 2 của y theo x là:

Tìm miền xác định của hàm số \(f(x) = \frac{{\arcsin 2x}}{{1 - \mathop {4x}\nolimits^2 }}\)

Định nghĩa nào sau đây đúng về tích phân suy rộng?

Cho hàm số \(y = \ln \sqrt[5]{{\frac{{1 + \sin x}}{{\mathop e\nolimits^{ - x} }}}}\) . Tính y '?

Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sin (x - 1)}}{{\mathop x\nolimits^2 - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x \ne 1)\\ a - \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x = 1) \end{array} \right.\) liên tục tại x = 1

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 16} \frac{{4 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt[4]{x}}}\)

Tính thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:\(y = 2x - 2{x^2},y = 0\) quay quanh Ox

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop e\nolimits^n \mathop {\sin e}\nolimits^{ - n + 1} \)

Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_0^5 {\frac{{dx}}{{\sqrt[4]{{1 + 3x}}}}} \) là:

Tính tích phân\(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^{2x}}} }}} \)

Cho hàm số \(y = \sqrt[3]{{1 - {x^3}}}\)Khẳng định nào sau đây đúng?

 Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\mathop 9\nolimits^{n + 1} - \mathop 2\nolimits^{n + 2} }}{{\mathop 2\nolimits^n + \mathop 3\nolimits^{2n + 1} }}\)

Cho hàm hai biến \(z = arctg(y - x)\) . Vi phân toàn phần cấp một của z là:

Cho ba hàm số f(x)= e^-x, g(x)= cos 2x - x² và h(x) = x⁴-2x+1. Hàm số nào có trục đối xứng?

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n\cos \frac{1}{n}}}{{\mathop n\nolimits^2 + n + 1}}\)

Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sin (x - 1)}}{{\mathop x\nolimits^2 - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x \ne 1)\\ a - \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x = 1) \end{array} \right.\) liên tục tại x=1

Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {3{x^2}\ln xdx} \)

Tính tích phân \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {2 - 7{x^2}} }}}\)

Xét bài toán: Tính giới hạn \(L = \mathop {\lim }\limits_{n \to 1} \frac{{\mathop {(e}\nolimits^{\sin x} - 1)(1 - \cos 2x)}}{{\arcsin x.\ln (1 + \mathop x\nolimits^2 )}}\)

Một sinh viên giải bài toán này theo mấy bước dưới đây: 

Bước 1: Áp dụng quy tắc thay vô cùng bé tương đương, giới hạn trở thành: \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 )}}\) 

Bước 2: Thay tiếp sinx bởi x và rút gọn ta được: \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2\) \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x.2\mathop x\nolimits^2 }}{{x.\mathop x\nolimits^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2\)

Bước 3: Vậy giới hạn cần tính là L = 2

Lời giải đó đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

Tính d²n biết y= ln9x

Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{1}{{\mathop {\sin }\nolimits^2 x}} - \frac{1}{{\mathop x\nolimits^2 }})\,\,\,\,\)