Tính thông lượng của \(\vec F = x{y^2}\vec i - z{e^x}\vec j + ({x^2}z + siny)\vec k\) qua \(S\) là mặt \(z = {x^2} + {y^2},z \le 4\), hướng ra ngoài. (Chọn kết quả gần đúng nhất)
Đáp án đúng: A
Câu hỏi liên quan
Trong trường hợp này, mặt không kín, nên ta cần tạo một mặt kín bằng cách thêm các mặt đáy \(z=2\) và \(z=5\). Gọi \(S\) là mặt nón, \(S_1\) là mặt đáy tại \(z=2\) và \(S_2\) là mặt đáy tại \(z=5\).
Thông lượng qua mặt kín \(S \cup S_1 \cup S_2\) là:
\(\oint_{S \cup S_1 \cup S_2} \vec F \cdot \vec n dS = \iiint_V div(\vec F) dV\)
Tính phân kỳ của \(\vec F\):
\(div(\vec F) = \frac{\partial}{\partial x}({x^2} - 2y + z) + \frac{\partial}{\partial y}(-{z^2} - 2xy) + \frac{\partial}{\partial z}(x) = 2x - 2x + 0 = 0\)
Do đó, \(\iiint_V div(\vec F) dV = \iiint_V 0 dV = 0\).
Vậy, \(\oint_{S \cup S_1 \cup S_2} \vec F \cdot \vec n dS = 0\).
Ta có:
\(\oint_{S} \vec F \cdot \vec n dS + \iint_{S_1} \vec F \cdot \vec n dS + \iint_{S_2} \vec F \cdot \vec n dS = 0\)
Gọi \(\Phi\) là thông lượng qua mặt nón S. Ta cần tính \(\Phi = \iint_S \vec F \cdot \vec n dS\).
Tính thông lượng qua \(S_1\) (z=2):
\(\vec n = -\vec k\), \(\vec F = ({x^2} - 2y + 2)\vec i - (4 + 2xy)\vec j + x\vec k\)
\(\vec F \cdot \vec n = -x\)
\(\iint_{S_1} \vec F \cdot \vec n dS = \iint_{S_1} -x dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 -r\cos(\theta) r dr d\theta = -\int_0^{2\pi} \cos(\theta) d\theta \int_0^1 r^2 dr = 0\) (do tích phân của cos từ 0 đến 2pi bằng 0)
Tính thông lượng qua \(S_2\) (z=5):
\(\vec n = \vec k\), \(\vec F = ({x^2} - 2y + 5)\vec i - (25 + 2xy)\vec j + x\vec k\)
\(\vec F \cdot \vec n = x\)
\(\iint_{S_2} \vec F \cdot \vec n dS = \iint_{S_2} x dA = \int_0^{2\pi} \int_0^4 r\cos(\theta) r dr d\theta = \int_0^{2\pi} \cos(\theta) d\theta \int_0^4 r^2 dr = 0\) (do tích phân của cos từ 0 đến 2pi bằng 0)
Vậy, \(\Phi + 0 + 0 = 0\) => \(\Phi = 0\).
Để tính thông lượng của trường vector \(\vec F = {x^3}\vec i + {y^2}\vec j + \frac{{{z^2}}}{2}\vec k\) qua biên ngoài \(S\) của miền \(V\) cho bởi \(|x - y| \le 1, |y - z| \le 1, |z + x| \le 1\), ta sử dụng định lý Gauss (định lý phân kỳ). Định lý này cho phép ta chuyển tích phân mặt qua biên \(S\) thành tích phân ba lớp trên miền \(V\) của div\(\vec F\).
div\(\vec F\) = \(\frac{{\partial {x^3}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {y^2}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial (\frac{{{z^2}}}{2})}}{{\partial z}} = 3{x^2} + 2y + z\)
Thông lượng \(\Phi = {\iiint }_V {(\nabla.\vec F)dV} = {\iiint }_V {(3x^2 + 2y + z)dV} \)
Đặt \(x' = x - y, y' = y - z, z' = z + x\). Khi đó, \(|x'| \le 1, |y'| \le 1, |z'| \le 1\)
Ta có:\(x = \frac{1}{2}(x' - y' + z'), y = \frac{1}{2}(x' + y' + z'), z = \frac{1}{2}(-x' + y' + z')\)
Vậy:
\(3{x^2} + 2y + z = 3(\frac{1}{2}(x' - y' + z'))^2 + 2(\frac{1}{2}(x' + y' + z')) + \frac{1}{2}(-x' + y' + z') = \frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2} - 2x'y' - 2y'z' + 2x'z') + x' + 2y' + \frac{3}{2}z'\)
Jacobian của phép biến đổi là:
\(J = \begin{vmatrix} \frac{{\partial x}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial x}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial x}}{{\partial z'}} \\ \frac{{\partial y}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial y}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial y}}{{\partial z'}} \\ \frac{{\partial z}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial z}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial z}}{{\partial z'}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\)
Khi đó, \(\Phi = \int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {(3x^2 + 2y + z)|J|dx'dy'dz'} } } = \int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {(\frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2} - 2x'y' - 2y'z' + 2x'z') + x' + 2y' + \frac{3}{2}z')\frac{1}{2}dx'dy'dz'} } }\)
\( = \frac{1}{2}\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2})dx'dy'dz'} } } = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.3.\frac{2}{3}.2.2 = 3\)
Ở đây, u = xy + yz + xz.
Điểm A(-1, -1, -1): u(A) = (-1)*(-1) + (-1)*(-1) + (-1)*(-1) = 1 + 1 + 1 = 3
Điểm B(2, 4, 1): u(B) = 2*4 + 4*1 + 2*1 = 8 + 4 + 2 = 14
Lưu số = u(B) - u(A) = 14 - 3 = 11.
Vậy đáp án đúng là 11.
Ta sẽ sử dụng tích phân Euler loại 1 (Hàm Beta) để giải quyết tích phân này. Hàm Beta được định nghĩa là:
\(B(m,n) = \int_0^1 {x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx} = \frac{{\Gamma(m)\Gamma(n)}}{{\Gamma(m+n)}}\)
Trong đó, \(\Gamma(x)\) là hàm Gamma.
Xét tích phân đã cho: \(\int_0^1 {\frac{1}{{\sqrt[{30}]{{1 - {x^{30}}}}}}} dx\)
Đặt \(t = x^{30} \Rightarrow x = t^{\frac{1}{{30}}} \Rightarrow dx = \frac{1}{{30}}t^{\frac{1}{{30}} - 1} dt = \frac{1}{{30}}t^{-\frac{{29}}{{30}}} dt\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0\); \(x = 1 \Rightarrow t = 1\)
Khi đó, tích phân trở thành:
\(\int_0^1 {\frac{1}{{\sqrt[{30}]{{1 - t}}}}\frac{1}{{30}}{t^{ - \frac{{29}}{{30}}}}dt} = \frac{1}{{30}}\int_0^1 {t^{ - \frac{{29}}{{30}}}(1 - t)^{ - \frac{1}{{30}}} dt} \)
So sánh với hàm Beta, ta có: \(m - 1 = -\frac{{29}}{{30}} \Rightarrow m = \frac{1}{{30}}\) và \(n - 1 = -\frac{1}{{30}} \Rightarrow n = \frac{{29}}{{30}}\)
Vậy:
\(\frac{1}{{30}}\int_0^1 {t^{ - \frac{{29}}{{30}}}(1 - t)^{ - \frac{1}{{30}}} dt} = \frac{1}{{30}}B\left( {\frac{1}{{30}},\frac{{29}}{{30}}} \right) = \frac{1}{{30}}\frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{{30}}} \right)\Gamma \left( {\frac{{29}}{{30}}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{1}{{30}} + \frac{{29}}{{30}}} \right)}}\)
\( = \frac{1}{{30}}\frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{{30}}} \right)\Gamma \left( {1 - \frac{1}{{30}}} \right)}}{{\Gamma (1)}} = \frac{1}{{30}}\frac{{\frac{\pi }{{\sin \left( {\frac{\pi }{{30}}} \right) }}}}{1} = \frac{\pi }{{30\sin \left( {\frac{\pi }{{30}}} \right)}}\)
Vậy đáp án đúng là B.
\(I(n) = \int_0^1 x^5 (\ln x)^n dx\)
Sử dụng tích phân từng phần, ta có công thức truy hồi:
\(I(n) = - \frac{n}{6} I(n-1)\)
Áp dụng công thức này nhiều lần:
\(I(10) = \frac{10!}{6^{10}} I(0)\)
Với \(I(0) = \int_0^1 x^5 dx = \frac{1}{6}\)
Vậy:
\(I(10) = \frac{10!}{6^{11}}\)
Đáp án đúng là B. \(\frac{{10!}}{{{6^{11}}}}\)

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy

Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán

Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu
ĐĂNG KÝ GÓI THI VIP
- Truy cập hơn 100K đề thi thử và chính thức các năm
- 2M câu hỏi theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng
- Học nhanh với 10K Flashcard Tiếng Anh theo bộ sách và chủ đề
- Đầy đủ: Mầm non – Phổ thông (K12) – Đại học – Người đi làm
- Tải toàn bộ tài liệu trên TaiLieu.VN
- Loại bỏ quảng cáo để tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Tặng 15 ngày khi đăng ký gói 3 tháng, 30 ngày với gói 6 tháng và 60 ngày với gói 12 tháng.