Tính tích phân \(\int_0^1 {\frac{1}{{\sqrt[{30}]{{1 - {x^{30}}}}}}} dx\)

Ta sẽ sử dụng tích phân Euler loại 1 (Hàm Beta) để giải quyết tích phân này. Hàm Beta được định nghĩa là:

\(B(m,n) = \int_0^1 {x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx} = \frac{{\Gamma(m)\Gamma(n)}}{{\Gamma(m+n)}}\)

Trong đó, \(\Gamma(x)\) là hàm Gamma.

Xét tích phân đã cho: \(\int_0^1 {\frac{1}{{\sqrt[{30}]{{1 - {x^{30}}}}}}} dx\)

Đặt \(t = x^{30} \Rightarrow x = t^{\frac{1}{{30}}} \Rightarrow dx = \frac{1}{{30}}t^{\frac{1}{{30}} - 1} dt = \frac{1}{{30}}t^{-\frac{{29}}{{30}}} dt\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0\); \(x = 1 \Rightarrow t = 1\)

Khi đó, tích phân trở thành:

\(\int_0^1 {\frac{1}{{\sqrt[{30}]{{1 - t}}}}\frac{1}{{30}}{t^{ - \frac{{29}}{{30}}}}dt} = \frac{1}{{30}}\int_0^1 {t^{ - \frac{{29}}{{30}}}(1 - t)^{ - \frac{1}{{30}}} dt} \)

So sánh với hàm Beta, ta có: \(m - 1 = -\frac{{29}}{{30}} \Rightarrow m = \frac{1}{{30}}\) và \(n - 1 = -\frac{1}{{30}} \Rightarrow n = \frac{{29}}{{30}}\)

Vậy:

\(\frac{1}{{30}}\int_0^1 {t^{ - \frac{{29}}{{30}}}(1 - t)^{ - \frac{1}{{30}}} dt} = \frac{1}{{30}}B\left( {\frac{1}{{30}},\frac{{29}}{{30}}} \right) = \frac{1}{{30}}\frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{{30}}} \right)\Gamma \left( {\frac{{29}}{{30}}} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{1}{{30}} + \frac{{29}}{{30}}} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{30}}\frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{{30}}} \right)\Gamma \left( {1 - \frac{1}{{30}}} \right)}}{{\Gamma (1)}} = \frac{1}{{30}}\frac{{\frac{\pi }{{\sin \left( {\frac{\pi }{{30}}} \right) }}}}{1} = \frac{\pi }{{30\sin \left( {\frac{\pi }{{30}}} \right)}}\)

Vậy đáp án đúng là B.