Tính tích phân \(\int_L {(x + y)} ds\) với \(L\) là đoạn thẳng nối điểm \(O(0;0)\) và \(A(4;3)\)
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Đường thẳng L đi qua O(0,0) và A(4,3) có phương trình tham số: x = 4t, y = 3t, với 0 ≤ t ≤ 1.
Khi đó, x + y = 4t + 3t = 7t.
Độ dài vi phân ds được tính như sau: ds = √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt = √((4)² + (3)²) dt = √(16 + 9) dt = √25 dt = 5 dt.
Vậy, tích phân đường loại 1 ∫_L (x + y) ds = ∫_0^1 (7t) * 5 dt = 35 ∫_0^1 t dt = 35 * [t²/2]_0^1 = 35 * (1/2 - 0) = 35/2.
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Đầu tiên, ta tham số hóa đường cong C: \(x = {\cos ^3}t,y = {\sin ^3}t\) với \(t \in [0,\frac{\pi }{2}]\)
Khi đó \(x'(t) = - 3{\cos ^2}t\sin t,y'(t) = 3{\sin ^2}t\cos t\)
\(ds = \sqrt {{{(x'(t))}^2} + {{(y'(t))}^2}} dt = \sqrt {9{{\cos }^4}t{{\sin }^2}t + 9{{\sin }^4}t{{\cos }^2}t} dt = 3\sin t\cos tdt\)
Vậy tích phân trở thành:
\(\int_C {({y^2} + 1)ds} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\sin }^6}t + 1)3\sin t\cos tdt} \)
\(= 3\int_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\sin }^7}t\cos t + \sin t\cos t)dt} \)
\(= 3(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^7}t\cos tdt + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin t\cos tdt} } )\)
Đặt \(u = \sin t\) thì \(du = \cos tdt\). Khi \(t = 0\) thì \(u = 0\), khi \(t = \frac{\pi }{2}\) thì \(u = 1\).
\(\int_0^1 {{u^7}du} = \frac{{{u^8}}}{8}|_0^1 = \frac{1}{8}\)
Đặt \(v = \sin t\) thì \(dv = \cos tdt\). Khi \(t = 0\) thì \(v = 0\), khi \(t = \frac{\pi }{2}\) thì \(v = 1\).
\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin t\cos tdt} = \int_0^1 {vdv} = \frac{{{v^2}}}{2}|_0^1 = \frac{1}{2}\)
Do đó,
\(\int_C {({y^2} + 1)ds} = 3(\frac{1}{8} + \frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{8} + \frac{4}{8}) = 3.\frac{5}{8} = \frac{{15}}{8}\)
Khi đó \(x'(t) = - 3{\cos ^2}t\sin t,y'(t) = 3{\sin ^2}t\cos t\)
\(ds = \sqrt {{{(x'(t))}^2} + {{(y'(t))}^2}} dt = \sqrt {9{{\cos }^4}t{{\sin }^2}t + 9{{\sin }^4}t{{\cos }^2}t} dt = 3\sin t\cos tdt\)
Vậy tích phân trở thành:
\(\int_C {({y^2} + 1)ds} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\sin }^6}t + 1)3\sin t\cos tdt} \)
\(= 3\int_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\sin }^7}t\cos t + \sin t\cos t)dt} \)
\(= 3(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^7}t\cos tdt + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin t\cos tdt} } )\)
Đặt \(u = \sin t\) thì \(du = \cos tdt\). Khi \(t = 0\) thì \(u = 0\), khi \(t = \frac{\pi }{2}\) thì \(u = 1\).
\(\int_0^1 {{u^7}du} = \frac{{{u^8}}}{8}|_0^1 = \frac{1}{8}\)
Đặt \(v = \sin t\) thì \(dv = \cos tdt\). Khi \(t = 0\) thì \(v = 0\), khi \(t = \frac{\pi }{2}\) thì \(v = 1\).
\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin t\cos tdt} = \int_0^1 {vdv} = \frac{{{v^2}}}{2}|_0^1 = \frac{1}{2}\)
Do đó,
\(\int_C {({y^2} + 1)ds} = 3(\frac{1}{8} + \frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{8} + \frac{4}{8}) = 3.\frac{5}{8} = \frac{{15}}{8}\)
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Để tính tích phân đường loại 1 \(\int_C y ds\), ta cần tham số hóa đường cong \(C\) và tính độ dài vi phân \(ds\). Trong trường hợp này, đường cong \(C\) được cho bởi \(x = y^2\) đi từ \(O(0,0)\) đến \(A(1,1)\).
Ta có thể tham số hóa đường cong \(C\) theo biến \(y\) như sau: \(x(y) = y^2\), \(y(y) = y\), với \(0 \le y \le 1\).
Khi đó, đạo hàm của \(x(y)\) và \(y(y)\) theo \(y\) là:
\(\frac{dx}{dy} = 2y\) và \(\frac{dy}{dy} = 1\).
Độ dài vi phân \(ds\) được tính bởi:
\(ds = \sqrt{(\frac{dx}{dy})^2 + (\frac{dy}{dy})^2} dy = \sqrt{(2y)^2 + 1^2} dy = \sqrt{4y^2 + 1} dy\).
Vậy tích phân đường trở thành:
\(\int_C y ds = \int_0^1 y \sqrt{4y^2 + 1} dy\).
Đặt \(u = 4y^2 + 1\), suy ra \(du = 8y dy\), hay \(y dy = \frac{1}{8} du\).
Khi \(y = 0\), \(u = 1\). Khi \(y = 1\), \(u = 5\).
Do đó, tích phân trở thành:
\(\int_1^5 \frac{1}{8} \sqrt{u} du = \frac{1}{8} \int_1^5 u^{1/2} du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_1^5 = \frac{1}{12} (5^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{1}{12} (5\sqrt{5} - 1)\).
Vậy đáp án đúng là B. \(\frac{1}{{12}}(5\sqrt 5 - 1)\).
Ta có thể tham số hóa đường cong \(C\) theo biến \(y\) như sau: \(x(y) = y^2\), \(y(y) = y\), với \(0 \le y \le 1\).
Khi đó, đạo hàm của \(x(y)\) và \(y(y)\) theo \(y\) là:
\(\frac{dx}{dy} = 2y\) và \(\frac{dy}{dy} = 1\).
Độ dài vi phân \(ds\) được tính bởi:
\(ds = \sqrt{(\frac{dx}{dy})^2 + (\frac{dy}{dy})^2} dy = \sqrt{(2y)^2 + 1^2} dy = \sqrt{4y^2 + 1} dy\).
Vậy tích phân đường trở thành:
\(\int_C y ds = \int_0^1 y \sqrt{4y^2 + 1} dy\).
Đặt \(u = 4y^2 + 1\), suy ra \(du = 8y dy\), hay \(y dy = \frac{1}{8} du\).
Khi \(y = 0\), \(u = 1\). Khi \(y = 1\), \(u = 5\).
Do đó, tích phân trở thành:
\(\int_1^5 \frac{1}{8} \sqrt{u} du = \frac{1}{8} \int_1^5 u^{1/2} du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_1^5 = \frac{1}{12} (5^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{1}{12} (5\sqrt{5} - 1)\).
Vậy đáp án đúng là B. \(\frac{1}{{12}}(5\sqrt 5 - 1)\).
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để tính tích phân đường loại 2, ta sử dụng định lý Green để chuyển đổi tích phân đường thành tích phân kép trên miền giới hạn bởi đường cong.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta nhận thấy biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân toàn phần của hàm số \(f(x, y) = \frac{x}{y - x^2 - 1}\). Thật vậy, ta có:
\(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(y - x^2 - 1) - x(-2x)}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{y - x^2 - 1 + 2x^2}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{y + x^2 - 1}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{-(-y - x^2 + 1)}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{-y + 2xy - x^2 + 1}{(y - x^2 - 1)^2}\)
\(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-x}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{x - x^2 - 1}{(y - x^2 - 1)^2}\)
Do đó, tích phân đường không phụ thuộc vào đường đi, mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối.
Vậy:
\(\int_L {\frac{{ - y + 2xy - {x^2} + 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}} dx + \frac{{x - {x^2} - 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}dy = f(B) - f(A) = f(2, 6) - f(0, 2)\)
Ta có:
\(f(2, 6) = \frac{2}{6 - 2^2 - 1} = \frac{2}{6 - 4 - 1} = \frac{2}{1} = 2\)
\(f(0, 2) = \frac{0}{2 - 0^2 - 1} = \frac{0}{1} = 0\)
Vậy:
\(\int_L {\frac{{ - y + 2xy - {x^2} + 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}} dx + \frac{{x - {x^2} - 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}dy = 2 - 0 = 2\)
Vậy đáp án đúng là C.
\(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(y - x^2 - 1) - x(-2x)}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{y - x^2 - 1 + 2x^2}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{y + x^2 - 1}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{-(-y - x^2 + 1)}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{-y + 2xy - x^2 + 1}{(y - x^2 - 1)^2}\)
\(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-x}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{x - x^2 - 1}{(y - x^2 - 1)^2}\)
Do đó, tích phân đường không phụ thuộc vào đường đi, mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối.
Vậy:
\(\int_L {\frac{{ - y + 2xy - {x^2} + 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}} dx + \frac{{x - {x^2} - 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}dy = f(B) - f(A) = f(2, 6) - f(0, 2)\)
Ta có:
\(f(2, 6) = \frac{2}{6 - 2^2 - 1} = \frac{2}{6 - 4 - 1} = \frac{2}{1} = 2\)
\(f(0, 2) = \frac{0}{2 - 0^2 - 1} = \frac{0}{1} = 0\)
Vậy:
\(\int_L {\frac{{ - y + 2xy - {x^2} + 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}} dx + \frac{{x - {x^2} - 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}dy = 2 - 0 = 2\)
Vậy đáp án đúng là C.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta có \(x = \cos t, y = \sin t, z = 2t\) nên \(dx = - \sin t dt, dy = \cos t dt, dz = 2dt\). Thay vào tích phân đường, ta được:
\(\int_C ydx + zdy + xdz = \int_0^{2\pi} (\sin t(-\sin t) + 2t(\cos t) + \cos t(2))dt\)
\(= \int_0^{2\pi} (-\sin^2 t + 2t\cos t + 2\cos t)dt\)
Tính riêng các tích phân:
* \(\int_0^{2\pi} \sin^2 t dt = \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \frac{1}{2} [t - \frac{\sin 2t}{2}]_0^{2\pi} = \frac{1}{2}(2\pi) = \pi\)
* \(\int_0^{2\pi} 2\cos t dt = 2[\sin t]_0^{2\pi} = 0\)
* \(\int_0^{2\pi} 2t\cos t dt\): Sử dụng tích phân từng phần: đặt \(u = 2t, dv = \cos t dt\) thì \(du = 2dt, v = \sin t\). Vậy
\(\int_0^{2\pi} 2t\cos t dt = [2t\sin t]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} 2\sin t dt = 0 - 2[-\cos t]_0^{2\pi} = 2(\cos 2\pi - \cos 0) = 2(1 - 1) = 0\)
Do đó,
\(\int_C ydx + zdy + xdz = \int_0^{2\pi} (-\sin^2 t + 2t\cos t + 2\cos t)dt = -\pi + 0 + 0 = -\pi\)
Vậy đáp án đúng là C.
\(\int_C ydx + zdy + xdz = \int_0^{2\pi} (\sin t(-\sin t) + 2t(\cos t) + \cos t(2))dt\)
\(= \int_0^{2\pi} (-\sin^2 t + 2t\cos t + 2\cos t)dt\)
Tính riêng các tích phân:
* \(\int_0^{2\pi} \sin^2 t dt = \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \frac{1}{2} [t - \frac{\sin 2t}{2}]_0^{2\pi} = \frac{1}{2}(2\pi) = \pi\)
* \(\int_0^{2\pi} 2\cos t dt = 2[\sin t]_0^{2\pi} = 0\)
* \(\int_0^{2\pi} 2t\cos t dt\): Sử dụng tích phân từng phần: đặt \(u = 2t, dv = \cos t dt\) thì \(du = 2dt, v = \sin t\). Vậy
\(\int_0^{2\pi} 2t\cos t dt = [2t\sin t]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} 2\sin t dt = 0 - 2[-\cos t]_0^{2\pi} = 2(\cos 2\pi - \cos 0) = 2(1 - 1) = 0\)
Do đó,
\(\int_C ydx + zdy + xdz = \int_0^{2\pi} (-\sin^2 t + 2t\cos t + 2\cos t)dt = -\pi + 0 + 0 = -\pi\)
Vậy đáp án đúng là C.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy
89 tài liệu310 lượt tải
Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin
125 tài liệu441 lượt tải
Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông
104 tài liệu687 lượt tải
Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán
103 tài liệu589 lượt tải
Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp
377 tài liệu1030 lượt tải
Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu
99 tài liệu1062 lượt tải
ĐĂNG KÝ GÓI THI VIP
- Truy cập hơn 100K đề thi thử và chính thức các năm
- 2M câu hỏi theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng
- Học nhanh với 10K Flashcard Tiếng Anh theo bộ sách và chủ đề
- Đầy đủ: Mầm non – Phổ thông (K12) – Đại học – Người đi làm
- Tải toàn bộ tài liệu trên TaiLieu.VN
- Loại bỏ quảng cáo để tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Tặng 15 ngày khi đăng ký gói 3 tháng, 30 ngày với gói 6 tháng và 60 ngày với gói 12 tháng.
77.000 đ/ tháng