Với \(C\) là đường cong \({x^{2/3}} + {y^{2/3}} = 1\) trong góc phần tư thứ nhất nối \(A(1,0)\) và \(B(0,1)\), tính \(\int_C {({y^2} + 1)} ds\)
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Đầu tiên, ta tham số hóa đường cong C: \(x = {\cos ^3}t,y = {\sin ^3}t\) với \(t \in [0,\frac{\pi }{2}]\)
Khi đó \(x'(t) = - 3{\cos ^2}t\sin t,y'(t) = 3{\sin ^2}t\cos t\)
\(ds = \sqrt {{{(x'(t))}^2} + {{(y'(t))}^2}} dt = \sqrt {9{{\cos }^4}t{{\sin }^2}t + 9{{\sin }^4}t{{\cos }^2}t} dt = 3\sin t\cos tdt\)
Vậy tích phân trở thành:
\(\int_C {({y^2} + 1)ds} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\sin }^6}t + 1)3\sin t\cos tdt} \)
\(= 3\int_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\sin }^7}t\cos t + \sin t\cos t)dt} \)
\(= 3(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^7}t\cos tdt + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin t\cos tdt} } )\)
Đặt \(u = \sin t\) thì \(du = \cos tdt\). Khi \(t = 0\) thì \(u = 0\), khi \(t = \frac{\pi }{2}\) thì \(u = 1\).
\(\int_0^1 {{u^7}du} = \frac{{{u^8}}}{8}|_0^1 = \frac{1}{8}\)
Đặt \(v = \sin t\) thì \(dv = \cos tdt\). Khi \(t = 0\) thì \(v = 0\), khi \(t = \frac{\pi }{2}\) thì \(v = 1\).
\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin t\cos tdt} = \int_0^1 {vdv} = \frac{{{v^2}}}{2}|_0^1 = \frac{1}{2}\)
Do đó,
\(\int_C {({y^2} + 1)ds} = 3(\frac{1}{8} + \frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{8} + \frac{4}{8}) = 3.\frac{5}{8} = \frac{{15}}{8}\)
