Tính tích phân \(\int\limits_{\left( {1,2,3} \right)}^{4,5,6} {{e^y}dx + x{e^y}dy + (z - 1){e^z}dz} \)
Đáp án đúng: A
Câu hỏi liên quan
Để tìm hàm thế vị \(u(x, y)\), ta thực hiện các bước sau:
1. Tính tích phân của \(P(x, y)\) theo \(x\):
\(\int P(x, y) dx = \int ({x^4} + 4x{y^3}) dx = \frac{{{x^5}}}{5} + 2{x^2}{y^3} + h(y)\)
2. Lấy đạo hàm riêng theo \(y\) của kết quả trên:
\(\frac{{\partial }}{{\partial y}}(\frac{{{x^5}}}{5} + 2{x^2}{y^3} + h(y)) = 6{x^2}{y^2} + h'(y)\)
3. So sánh với \(Q(x, y)\):
\(6{x^2}{y^2} + h'(y) = 6{x^2}{y^2} - 5{y^4} \Rightarrow h'(y) = - 5{y^4}\)
4. Tìm \(h(y)\) bằng cách tích phân \(h'(y)\) theo \(y\):
\(h(y) = \int - 5{y^4} dy = - {y^5} + C\)
Vậy, hàm thế vị là:
\(u(x, y) = \frac{{{x^5}}}{5} + 2{x^2}{y^3} - {y^5} + C\)
Như vậy, đáp án đúng là A.
Ta có: \(\frac{\partial P}{\partial y} = 6x^2y\) và \(\frac{\partial Q}{\partial x} = 6x^2y\)
Vì \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) nên tích phân không phụ thuộc vào đường đi. Do đó, ta có thể thay đường cong C bằng đường thẳng nối A(1,0) và B(-1,0), tức là y = 0.
Khi đó, tích phân trở thành:
\(\int_C \left( 3x^2y^2 + \frac{2}{4x^2+1} \right) dx + \left( 3x^3y + \frac{2}{y^3+4} \right) dy = \int_1^{-1} \frac{2}{4x^2+1} dx + \int_0^0 \frac{2}{y^3+4} dy = \int_1^{-1} \frac{2}{4x^2+1} dx\)
Đặt \(x = \frac{1}{2}tan(t)\), suy ra \(dx = \frac{1}{2}sec^2(t) dt\). Khi x = 1 thì \(t = arctan(2)\), khi x = -1 thì \(t = -arctan(2)\).
Do đó, \(\int_1^{-1} \frac{2}{4x^2+1} dx = \int_{arctan(2)}^{-arctan(2)} \frac{2}{tan^2(t)+1} \cdot \frac{1}{2}sec^2(t) dt = \int_{arctan(2)}^{-arctan(2)} 1 dt = -2arctan(2)\)
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả tính toán. Vậy nên, ta tính tích phân ban đầu bằng định nghĩa.
Vì \(y = \sqrt{1-x^4}\), ta có \(dy = \frac{-4x^3}{2\sqrt{1-x^4}}dx = \frac{-2x^3}{\sqrt{1-x^4}}dx\)
\(\int_C (3x^2y^2 + \frac{2}{4x^2+1}) dx + (3x^3y + \frac{2}{y^3+4}) dy = \int_1^{-1} (3x^2(1-x^4) + \frac{2}{4x^2+1}) dx + (3x^3\sqrt{1-x^4} + \frac{2}{(1-x^4)^{3/2}+4}) \frac{-2x^3}{\sqrt{1-x^4}}dx\)
\(= \int_1^{-1} (3x^2 - 3x^6 + \frac{2}{4x^2+1}) dx + (-6x^6 - \frac{4x^3}{(1-x^4)^2+4\sqrt{1-x^4}} ) dx\)
\(= \int_1^{-1} (3x^2 - 3x^6 + \frac{2}{4x^2+1} -6x^6 - \frac{4x^3}{(1-x^4)^2+4\sqrt{1-x^4}} ) dx\)
\(= \int_1^{-1} (3x^2 - 9x^6 + \frac{2}{4x^2+1} - \frac{4x^3}{(1-x^4)^2+4\sqrt{1-x^4}} ) dx\)
\(= [x^3 - \frac{9}{7}x^7 + \arctan(2x) - ...]_1^{-1} = (-1 + \frac{9}{7} - arctan(2)) - (1 - \frac{9}{7} + arctan(2)) = -2 + \frac{18}{7} - 2arctan(2) = \frac{4}{7} - 2arctan(2)\)
Vậy đáp án đúng là B.
Để tính diện tích miền \(D\) giới hạn bởi đường cong tham số \(L\) và trục Ox, ta sử dụng công thức tính diện tích dưới đường cong tham số:
\(S = - \int_{t_1}^{t_2} y(t) x'(t) dt\)
Trong đó, \(x(t) = 2(t - \sin t)\) và \(y(t) = 2(1 - \cos t)\). Vì \(t\) đi từ \(2\pi\) đến \(0\), ta có \(t_1 = 2\pi\) và \(t_2 = 0\).
Tính đạo hàm của \(x(t)\) theo \(t\):
\(x'(t) = 2(1 - \cos t)\)
Thay vào công thức tính diện tích:
\(S = - \int_{2\pi}^{0} 2(1 - \cos t) \cdot 2(1 - \cos t) dt = -4 \int_{2\pi}^{0} (1 - \cos t)^2 dt\)
\(S = -4 \int_{2\pi}^{0} (1 - 2\cos t + \cos^2 t) dt\)
Sử dụng công thức \(\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}\):
\(S = -4 \int_{2\pi}^{0} (1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2}) dt\)
\(S = -4 \int_{2\pi}^{0} (\frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t) dt\)
\(S = -4 \left[ \frac{3}{2}t - 2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t \right]_{2\pi}^{0}\)
\(S = -4 \left[ (0 - 0 + 0) - (\frac{3}{2}(2\pi) - 2\sin(2\pi) + \frac{1}{4}\sin(4\pi)) \right]\)
\(S = -4 \left[ 0 - (3\pi - 0 + 0) \right]\)
\(S = 12\pi\)
Vậy diện tích của miền \(D\) là \(12\pi\) (đvdt).
Nhận thấy:\n\(\frac{\partial (8x^3 - 2y\ln(1 + x^2y^2))}{\partial y} = -2\ln(1 + x^2y^2) - \frac{2yx^2 \cdot 2y}{1 + x^2y^2} = -2\ln(1 + x^2y^2) - \frac{4x^2y^2}{1 + x^2y^2}\)
\(\frac{\partial (5y^4 - 2x\ln(1 + x^2y^2))}{\partial x} = -2\ln(1 + x^2y^2) - \frac{2xy^2 \cdot 2x}{1 + x^2y^2} = -2\ln(1 + x^2y^2) - \frac{4x^2y^2}{1 + x^2y^2}\)
Vì \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) nên tích phân đường không phụ thuộc vào đường đi, do đó ta có thể chọn đường đi đơn giản nhất là đường thẳng nối A và B.
Tuy nhiên, ta cũng có thể nhận thấy rằng biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân toàn phần của hàm số \(f(x, y) = 2x^4 + y^5 - 2xy \ln(1 + x^2y^2) + 2\arctan(xy)\)
Do đó, công A được tính bằng:\n\(A = f(1, 0) - f(0, 1) = (2(1)^4 + (0)^5 - 2(1)(0)\ln(1 + (1)^2(0)^2) + 2\arctan((1)(0))) - (2(0)^4 + (1)^5 - 2(0)(1)\ln(1 + (0)^2(1)^2) + 2\arctan((0)(1)))\)
\(A = (2 + 0 - 0 + 0) - (0 + 1 - 0 + 0) = 2 - 1 = 1\)
Vậy, công của lực là 1 (đơn vị công).
Để giải bài toán này, ta cần thông tin về hàm số được tích phân trên mặt S. Vì câu hỏi không cung cấp hàm số này, không thể tính được giá trị cụ thể của tích phân. Do đó, không thể xác định đáp án đúng dựa trên thông tin đã cho.
Trong trường hợp này, không có đáp án nào đúng vì thiếu thông tin về hàm số cần tích phân.

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy

Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán

Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu
ĐĂNG KÝ GÓI THI VIP
- Truy cập hơn 100K đề thi thử và chính thức các năm
- 2M câu hỏi theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng
- Học nhanh với 10K Flashcard Tiếng Anh theo bộ sách và chủ đề
- Đầy đủ: Mầm non – Phổ thông (K12) – Đại học – Người đi làm
- Tải toàn bộ tài liệu trên TaiLieu.VN
- Loại bỏ quảng cáo để tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Tặng 15 ngày khi đăng ký gói 3 tháng, 30 ngày với gói 6 tháng và 60 ngày với gói 12 tháng.