Tính với S là phần mặt \(2z = {x^2} + {y^2},0 \le x,y \le 1\). Chọn đáp án gần với kết quả của tích phân nhất.

Bài toán yêu cầu tính tích phân mặt loại 1 trên mặt nón. Ta có z = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), suy ra \(z_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) và \(z_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) . Vậy \(\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).

Miền D là hình tròn \(1 \le x^2 + y^2 \le 4\). Chuyển sang tọa độ cực, ta có \(1 \le r \le 2\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\). Vậy tích phân là:

\(I = \iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, \sqrt{x^2 + y^2}) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dA = \iint_D (x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^2 r dr d\theta = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^2 r^3 dr = \sqrt{2} (2\pi) \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = 2\pi \sqrt{2} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \sqrt{2} \frac{15}{4} = \frac{15\sqrt{2}\pi}{2}\)

Đề bài có lẽ đã có sự nhầm lẫn khi cho các đáp án, không có đáp án nào đúng với kết quả tính toán là \(\frac{15\sqrt{2}\pi}{2}\). Tuy nhiên, nếu đề bài cho \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\) thì tích phân sẽ là:

\(I = \iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D (x^2 + y^2 + z^2) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dA = \iint_D (x^2 + y^2 + x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = \iint_D 2(x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = 2\sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^2 r dr d\theta = 2\sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^2 r^3 dr = 2\sqrt{2} (2\pi) \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = 4\pi \sqrt{2} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 4\pi \sqrt{2} \frac{15}{4} = 15\sqrt{2}\pi\)

Trong trường hợp đề bài cho \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 \), không có đáp án nào đúng.

Câu hỏi yêu cầu tính một tích phân trên mặt trụ. Tuy nhiên, không có thông tin về hàm số cần tích phân. Do đó, không thể xác định đáp án chính xác dựa trên thông tin đã cho. Các đáp án A, B, C, D đều là các hằng số, và không có cơ sở nào để chọn một đáp án cụ thể nào đúng hơn các đáp án khác.

Để giải bài toán này, ta cần tính tích phân trên mặt S là phía ngoài của mặt paraboloid \(z = x^2 + y^2\) với điều kiện \(0 \le z \le 2\) và \(y \ge 0\). Do không có tích phân cụ thể được cho, ta không thể tính giá trị chính xác. Tuy nhiên, dựa vào kinh nghiệm giải các bài toán tương tự và các đáp án được đưa ra, ta có thể suy luận đáp án đúng nhất.

Vì không có thông tin đầy đủ về tích phân cần tính, không thể xác định đáp án chính xác. Do đó, không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho.

Để tính tích phân mặt, ta cần xác định hàm vector và mặt S. Tuy nhiên, câu hỏi không cung cấp hàm vector cụ thể nào để tích phân trên mặt S. Do đó, không thể xác định đáp án chính xác từ thông tin đã cho. Nếu có thêm thông tin về hàm vector, chúng ta có thể sử dụng định lý Green, Stokes hoặc công thức tích phân trực tiếp để giải quyết bài toán.

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định lý Gauss (hay còn gọi là định lý phân kỳ) để chuyển tích phân mặt thành tích phân thể tích.

Định lý Gauss:

\(\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV\)

Trong đó:

* \(\mathbf{F} = (x^2 + yz, y^2 + xz, z^2 + xy)\) là trường vector.
* S là biên của miền V.
* V là miền \(x + y + z \le 1, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0\).
* \(\nabla \cdot \mathbf{F}\) là độ phân kỳ của trường vector \(\mathbf{F}\).

Tính độ phân kỳ:

\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + yz) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2 + xz) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2 + xy) = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)\)

Tính tích phân thể tích:

\(\iiint_V 2(x + y + z) dV\)

Miền V là một tứ diện trong góc phần tám thứ nhất, giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0 và x + y + z = 1. Ta có thể tính tích phân này bằng cách sử dụng tích phân lặp:

\(\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} 2(x + y + z) dz dy dx\)

Tính tích phân trong cùng theo z:

\(\int_0^{1-x-y} 2(x + y + z) dz = 2(x + y)z + z^2 \Big|_0^{1-x-y} = 2(x + y)(1 - x - y) + (1 - x - y)^2 = (1 - x - y)(2x + 2y + 1 - x - y) = (1 - x - y)(x + y + 1)\)

Tính tích phân theo y:

\(\int_0^{1-x} (1 - x - y)(x + y + 1) dy = \int_0^{1-x} (1 - x - y)(1 + x + y) dy = \int_0^{1-x} (1 + x - x^2 - 2xy - y^2) dy\)

\(= (1 + x - x^2)y - xy^2 - \frac{y^3}{3} \Big|_0^{1-x} = (1 + x - x^2)(1 - x) - x(1 - x)^2 - \frac{(1 - x)^3}{3} = 1 - x + x - x^2 - x^2 + x^3 - x(1 - 2x + x^2) - \frac{1 - 3x + 3x^2 - x^3}{3} = 1 - 2x^2 + x^3 - x + 2x^2 - x^3 - \frac{1}{3} + x - x^2 + \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3} - x^2 + \frac{x^3}{3}\)

Tính tích phân theo x:

\(\int_0^1 (\frac{2}{3} - x^2 + \frac{x^3}{3}) dx = \frac{2}{3}x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{12} \Big|_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{4 + 1}{12} = \frac{5}{12}\)

Vậy \(\oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \frac{5}{12} = \frac{a}{b}\). Suy ra a = 5, b = 12. Do đó a + b = 5 + 12 = 17. Không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho.