Biết với \(S\) là phần trên của mặt nón có phương trình \(z = - \sqrt {{x^2} + {y^2}} \), \( - 1 \le z \le 0\) khi nhìn từ chiều dương trục Oz. Tính \(2a + b\)
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về tích phân mặt loại 2 và cách tính tích phân trên một mặt nón.
Để giải quyết bài toán này, ta cần tham số hóa mặt nón \(S\) và tính tích phân đã cho.
Phương trình mặt nón là \(z = -\sqrt{x^2 + y^2}\), \(-1 \le z \le 0\).
Đặt \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), với \(0 \le r \le 1\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).
Khi đó, \(z = -r\).
Vậy, tham số hóa của mặt nón là \(\mathbf{r}(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, -r)\).
Ta tính các vector tiếp tuyến:
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} = (\cos\theta, \sin\theta, -1)\)
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0)\)
Tính tích có hướng:
\(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos\theta & \sin\theta & -1 \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (r\cos\theta, r\sin\theta, r(\cos^2\theta + \sin^2\theta)) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)\)
Vì ta nhìn từ chiều dương trục Oz, nên vector pháp tuyến hướng lên, tức là thành phần z dương. Do đó, ta chọn vector pháp tuyến là \((r\cos\theta, r\sin\theta, r)\).
Khi đó, tích phân trở thành:
\(I = \iint_S (xydx \wedge dy + yzdy \wedge dz + zxdz \wedge dx) = \iint_D (r\cos\theta r\sin\theta r + r\sin\theta (-r) r + (-r)r\cos\theta (-r)) drd\theta\)
\(I = \iint_D (r^3\cos\theta\sin\theta - r^3\sin\theta + r^3\cos\theta) drd\theta\)
\(I = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^3\cos\theta\sin\theta - r^3\sin\theta + r^3\cos\theta) dr d\theta\)
\(I = \int_0^1 r^3 dr \int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \sin\theta + \cos\theta) d\theta\)
\(\int_0^1 r^3 dr = \frac{1}{4}\)
\(\int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin\theta - \sin\theta + \cos\theta) d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\sin(2\theta) d\theta - \int_0^{2\pi} \sin\theta d\theta + \int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta\)
\(= \frac{1}{2} [-\frac{1}{2}\cos(2\theta)]_0^{2\pi} + [\cos\theta]_0^{2\pi} + [\sin\theta]_0^{2\pi} = 0 + 0 + 0 = 0\)
Vậy \(I = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0\)
Vậy \(a = 0, b = 0\) suy ra \(2a + b = 0\).
