Cho điểm \(A(2, - 1,0),B(1,1,3)\). Tính đạo hàm của hàm \(u = {x^3} + 3{y^2} + {e^z} + xy{z^2}\) tại điểm \(A\) theo hướng \(\overrightarrow {AB} \)

Để tính thông lượng của trường vector \(\vec F = x\vec i + ({y^3} + 2z)\vec j + (3{x^2}z - x)\vec k\) qua mặt cầu \(S:{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) hướng ra ngoài, ta sử dụng định lý Gauss (định lý phân kỳ). Định lý này nói rằng thông lượng của một trường vector qua một mặt kín bằng tích phân ba lần của divergence của trường vector trên miền giới hạn bởi mặt đó.

Tính divergence của \(\vec F\):

\(\nabla \cdot \vec F = \frac{{\partial P}}{{\partial x}} + \frac{{\partial Q}}{{\partial y}} + \frac{{\partial R}}{{\partial z}}\) trong đó \(\vec F = P\vec i + Q\vec j + R\vec k\)

Ở đây, \(P = x\), \(Q = {y^3} + 2z\), \(R = 3{x^2}z - x\)

Vậy:

\(\frac{{\partial P}}{{\partial x}} = \frac{{\partial x}}{{\partial x}} = 1\)

\(\frac{{\partial Q}}{{\partial y}} = \frac{{\partial ({y^3} + 2z)}}{{\partial y}} = 3{y^2}\)

\(\frac{{\partial R}}{{\partial z}} = \frac{{\partial (3{x^2}z - x)}}{{\partial z}} = 3{x^2}\)

Do đó, \(\nabla \cdot \vec F = 1 + 3{y^2} + 3{x^2}\)

Bây giờ, ta tính tích phân ba lần của divergence trên miền \(V\) là khối cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le 1\):

\(\iiint_V {(\nabla \cdot \vec F)dV} = \iiint_V {(1 + 3{x^2} + 3{y^2})dV} \)

Sử dụng tọa độ cầu:

\(x = r\sin \theta \cos \phi\), \(y = r\sin \theta \sin \phi\), \(z = r\cos \theta\)

\(dV = {r^2}\sin \theta dr d\theta d\phi\)

\({x^2} + {y^2} = {r^2}{\sin ^2}\theta\)

Tích phân trở thành:

\(\int_0^{2\pi } {\int_0^\pi {\int_0^1 {(1 + 3{r^2}{{\sin }^2}\theta ){r^2}\sin \theta drd\theta d\phi } } } \)

\(= \int_0^{2\pi } {d\phi } \int_0^\pi {\int_0^1 {({r^2} + 3{r^4}{{\sin }^2}\theta )\sin \theta drd\theta } } \)

\(= 2\pi \int_0^\pi {\left[ {\frac{{{r^3}}}{3} + \frac{{3{r^5}}}{5}{{\sin }^2}\theta } \right]_0^1\sin \theta d\theta } \)

\(= 2\pi \int_0^\pi {\left( {\frac{1}{3} + \frac{3}{5}{{\sin }^2}\theta } \right)\sin \theta d\theta } \)

\(= 2\pi \left[ {\int_0^\pi {\frac{1}{3}\sin \theta d\theta } + \int_0^\pi {\frac{3}{5}{{\sin }^2}\theta \sin \theta d\theta } } \right]\)

\(= 2\pi \left[ {\frac{1}{3}[ - \cos \theta ]_0^\pi + \frac{3}{5}\int_0^\pi {(1 - {{\cos }^2}\theta )\sin \theta d\theta } } \right]\)

\(= 2\pi \left[ {\frac{1}{3}(2) + \frac{3}{5}\int_0^\pi {(\sin \theta - {{\cos }^2}\theta \sin \theta )d\theta } } \right]\)

\(= 2\pi \left[ {\frac{2}{3} + \frac{3}{5}\left[ { - \cos \theta + \frac{{{{\cos }^3}\theta }}{3}} \right]_0^\pi } \right]\)

\(= 2\pi \left[ {\frac{2}{3} + \frac{3}{5}\left( {2 - \frac{2}{3}} \right)} \right] = 2\pi \left[ {\frac{2}{3} + \frac{3}{5}\left( {\frac{4}{3}} \right)} \right]\)

\(= 2\pi \left[ {\frac{2}{3} + \frac{4}{5}} \right] = 2\pi \left[ {\frac{{10 + 12}}{{15}}} \right] = 2\pi \left[ {\frac{{22}}{{15}}} \right] = \frac{{44\pi }}{{15}}\)

Để tính thông lượng của trường vector \(\vec F = {x^3}\vec i + {y^2}\vec j + \frac{{{z^2}}}{2}\vec k\) qua biên ngoài \(S\) của miền \(V\) cho bởi \(|x - y| \le 1, |y - z| \le 1, |z + x| \le 1\), ta sử dụng định lý Gauss (định lý phân kỳ). Định lý này cho phép ta chuyển tích phân mặt qua biên \(S\) thành tích phân ba lớp trên miền \(V\) của div\(\vec F\).

div\(\vec F\) = \(\frac{{\partial {x^3}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {y^2}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial (\frac{{{z^2}}}{2})}}{{\partial z}} = 3{x^2} + 2y + z\)

Thông lượng \(\Phi = {\iiint }_V {(\nabla.\vec F)dV} = {\iiint }_V {(3x^2 + 2y + z)dV} \)

Đặt \(x' = x - y, y' = y - z, z' = z + x\). Khi đó, \(|x'| \le 1, |y'| \le 1, |z'| \le 1\)

Ta có:\(x = \frac{1}{2}(x' - y' + z'), y = \frac{1}{2}(x' + y' + z'), z = \frac{1}{2}(-x' + y' + z')\)

Vậy:

\(3{x^2} + 2y + z = 3(\frac{1}{2}(x' - y' + z'))^2 + 2(\frac{1}{2}(x' + y' + z')) + \frac{1}{2}(-x' + y' + z') = \frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2} - 2x'y' - 2y'z' + 2x'z') + x' + 2y' + \frac{3}{2}z'\)

Jacobian của phép biến đổi là:

\(J = \begin{vmatrix} \frac{{\partial x}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial x}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial x}}{{\partial z'}} \\ \frac{{\partial y}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial y}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial y}}{{\partial z'}} \\ \frac{{\partial z}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial z}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial z}}{{\partial z'}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\)

Khi đó, \(\Phi = \int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {(3x^2 + 2y + z)|J|dx'dy'dz'} } } = \int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {(\frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2} - 2x'y' - 2y'z' + 2x'z') + x' + 2y' + \frac{3}{2}z')\frac{1}{2}dx'dy'dz'} } }\)

\( = \frac{1}{2}\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2})dx'dy'dz'} } } = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.3.\frac{2}{3}.2.2 = 3\)