Tính thông lượng của trường vecto \(\vec F = {x^3}\vec i + {y^2}\vec j + \frac{{{z^2}}}{2}\vec k\) qua \(S\) là biên ngoài của miền \(V\): \(|x - y| \le 1,|y - z| \le 1,|z + x| \le 1\)

Để tính thông lượng của trường vector \(\vec F = {x^3}\vec i + {y^2}\vec j + \frac{{{z^2}}}{2}\vec k\) qua biên ngoài \(S\) của miền \(V\) cho bởi \(|x - y| \le 1, |y - z| \le 1, |z + x| \le 1\), ta sử dụng định lý Gauss (định lý phân kỳ). Định lý này cho phép ta chuyển tích phân mặt qua biên \(S\) thành tích phân ba lớp trên miền \(V\) của div\(\vec F\).

div\(\vec F\) = \(\frac{{\partial {x^3}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {y^2}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial (\frac{{{z^2}}}{2})}}{{\partial z}} = 3{x^2} + 2y + z\)

Thông lượng \(\Phi = {\iiint }_V {(\nabla.\vec F)dV} = {\iiint }_V {(3x^2 + 2y + z)dV} \)

Đặt \(x' = x - y, y' = y - z, z' = z + x\). Khi đó, \(|x'| \le 1, |y'| \le 1, |z'| \le 1\)

Ta có:\(x = \frac{1}{2}(x' - y' + z'), y = \frac{1}{2}(x' + y' + z'), z = \frac{1}{2}(-x' + y' + z')\)

Vậy:

\(3{x^2} + 2y + z = 3(\frac{1}{2}(x' - y' + z'))^2 + 2(\frac{1}{2}(x' + y' + z')) + \frac{1}{2}(-x' + y' + z') = \frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2} - 2x'y' - 2y'z' + 2x'z') + x' + 2y' + \frac{3}{2}z'\)

Jacobian của phép biến đổi là:

\(J = \begin{vmatrix} \frac{{\partial x}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial x}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial x}}{{\partial z'}} \\ \frac{{\partial y}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial y}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial y}}{{\partial z'}} \\ \frac{{\partial z}}{{\partial x'}} & \frac{{\partial z}}{{\partial y'}} & \frac{{\partial z}}{{\partial z'}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\)

Khi đó, \(\Phi = \int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {(3x^2 + 2y + z)|J|dx'dy'dz'} } } = \int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {(\frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2} - 2x'y' - 2y'z' + 2x'z') + x' + 2y' + \frac{3}{2}z')\frac{1}{2}dx'dy'dz'} } }\)

\( = \frac{1}{2}\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\int_{ - 1}^1 {\frac{3}{4}({x'^2} + {y'^2} + {z'^2})dx'dy'dz'} } } = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.3.\frac{2}{3}.2.2 = 3\)