JavaScript is required

Tính tích phân \(\int\limits_L {\frac{{ - y + 2xy - {x^2} + 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}} dx + \frac{{x - {x^2} - 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}dy\) với \(L:y = 2x + 2\) đi từ \(A(0,2)\) đến \(B(2,6)\)

A.

\(4\)

B.

\(3\)

C.

\(2\)

D.

\(1\)

Trả lời:

Đáp án đúng: C


Ta nhận thấy biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân toàn phần của hàm số \(f(x, y) = \frac{x}{y - x^2 - 1}\). Thật vậy, ta có: \(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(y - x^2 - 1) - x(-2x)}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{y - x^2 - 1 + 2x^2}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{y + x^2 - 1}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{-(-y - x^2 + 1)}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{-y + 2xy - x^2 + 1}{(y - x^2 - 1)^2}\) \(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-x}{(y - x^2 - 1)^2} = \frac{x - x^2 - 1}{(y - x^2 - 1)^2}\) Do đó, tích phân đường không phụ thuộc vào đường đi, mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối. Vậy: \(\int_L {\frac{{ - y + 2xy - {x^2} + 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}} dx + \frac{{x - {x^2} - 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}dy = f(B) - f(A) = f(2, 6) - f(0, 2)\) Ta có: \(f(2, 6) = \frac{2}{6 - 2^2 - 1} = \frac{2}{6 - 4 - 1} = \frac{2}{1} = 2\) \(f(0, 2) = \frac{0}{2 - 0^2 - 1} = \frac{0}{1} = 0\) Vậy: \(\int_L {\frac{{ - y + 2xy - {x^2} + 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}} dx + \frac{{x - {x^2} - 1}}{{{{(y - {x^2} - 1)}^2}}}dy = 2 - 0 = 2\) Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi liên quan