Tính với S là biên của miền giới hạn bởi mặt z = \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} ,z = 1\)

Để tìm m, ta cần thông tin về một biểu thức hoặc một phương trình liên quan đến m và mặt S. Tuy nhiên, câu hỏi hiện tại không cung cấp đủ thông tin hoặc ngữ cảnh để xác định giá trị của m. Câu hỏi chỉ cho mặt phẳng S và điều kiện x, y, z >= 0, nhưng không có yêu cầu hoặc biểu thức nào liên quan đến m. Do đó, không thể xác định đáp án đúng dựa trên thông tin đã cho.

Câu hỏi này không cung cấp đủ thông tin để tính toán giá trị cụ thể. Chúng ta cần biết tích phân nào cần tính trên mặt S (ví dụ, tích phân của một hàm số nào đó trên S). Nếu không có thông tin này, không thể xác định đáp án đúng. Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.

Bài toán yêu cầu tính tích phân mặt loại 1 trên mặt nón. Ta có z = \(\sqrt{x^2 + y^2}\), suy ra \(z_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) và \(z_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\) . Vậy \(\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).

Miền D là hình tròn \(1 \le x^2 + y^2 \le 4\). Chuyển sang tọa độ cực, ta có \(1 \le r \le 2\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\). Vậy tích phân là:

\(I = \iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, \sqrt{x^2 + y^2}) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dA = \iint_D (x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^2 r dr d\theta = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^2 r^3 dr = \sqrt{2} (2\pi) \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = 2\pi \sqrt{2} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \sqrt{2} \frac{15}{4} = \frac{15\sqrt{2}\pi}{2}\)

Đề bài có lẽ đã có sự nhầm lẫn khi cho các đáp án, không có đáp án nào đúng với kết quả tính toán là \(\frac{15\sqrt{2}\pi}{2}\). Tuy nhiên, nếu đề bài cho \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\) thì tích phân sẽ là:

\(I = \iint_S f(x, y, z) dS = \iint_D (x^2 + y^2 + z^2) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dA = \iint_D (x^2 + y^2 + x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = \iint_D 2(x^2 + y^2) \sqrt{2} dA = 2\sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^2 r dr d\theta = 2\sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^2 r^3 dr = 2\sqrt{2} (2\pi) \left[ \frac{r^4}{4} \right]_1^2 = 4\pi \sqrt{2} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 4\pi \sqrt{2} \frac{15}{4} = 15\sqrt{2}\pi\)

Trong trường hợp đề bài cho \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 \), không có đáp án nào đúng.

Câu hỏi yêu cầu tính một tích phân trên mặt trụ. Tuy nhiên, không có thông tin về hàm số cần tích phân. Do đó, không thể xác định đáp án chính xác dựa trên thông tin đã cho. Các đáp án A, B, C, D đều là các hằng số, và không có cơ sở nào để chọn một đáp án cụ thể nào đúng hơn các đáp án khác.